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Campi Elettromagnetici

Polarizzazione, riflessione a incidenza normale e onde stazionarie

Polarizzazione lineare, circolare ed ellittica, coefficienti di riflessione e trasmissione con dimostrazione, strati antiriflesso, onde stazionarie e rapporto d'onda stazionaria.

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Quando un’onda incontra un materiale diverso, parte dell’energia viene riflessa e parte prosegue. Quanto si riflette dipende dal “salto” di impedenza d’onda tra i due materiali, esattamente come una tensione si riflette alla fine di un cavo collegato a un carico sbagliato. In questa lezione vediamo la polarizzazione delle onde, la riflessione a incidenza normale, le onde stazionarie e il rapporto d’onda stazionaria.

La polarizzazione

La polarizzazione descrive come si muove nel tempo la punta del vettore campo elettrico, in un piano perpendicolare alla direzione di propagazione. In generale il campo ha due componenti, E_x = E_1\cos(\omega t) e E_y = E_2\cos(\omega t + \phi):

  • lineare: \phi = 0 o 180°: la punta oscilla lungo un segmento. Le antenne delle radio FM e del Wi-Fi sono di solito a polarizzazione lineare, verticale o orizzontale;
  • circolare: E_1 = E_2 e \phi = \pm 90°: la punta descrive una circonferenza, in un verso o nell’altro (destra o sinistra). La usano i satelliti GPS, perché non risente della rotazione del ricevitore;
  • ellittica: il caso generale.

Un’antenna riceve bene solo la polarizzazione per cui è fatta: un’antenna verticale non riceve un’onda polarizzata orizzontalmente. Per questo due canali vicini possono usare la stessa frequenza con polarizzazioni ortogonali, raddoppiando la capacità (si fa nei ponti radio e nei satelliti televisivi).

La riflessione a incidenza normale

Un’onda piana viaggia nel materiale 1 (impedenza \eta_1) e incontra perpendicolarmente la superficie del materiale 2 (impedenza \eta_2), in z = 0. Nel materiale 1 ci sono l’onda incidente e quella riflessa, nel materiale 2 l’onda trasmessa:

    \[ E_1 = E_0\left(e^{-jk_1z} + \Gamma e^{jk_1z}\right),\qquad E_2 = \tau E_0\,e^{-jk_2z} \]

Teorema. I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono

    \[ \Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1},\qquad \tau = 1 + \Gamma = \frac{2\eta_2}{\eta_2 + \eta_1} \]

Dimostrazione. I campi sono tangenti alla superficie, quindi per le condizioni al contorno E e H sono continui in z = 0. Per il campo elettrico: 1 + \Gamma = \tau. Per il campo magnetico si ricorda che H = E/\eta per l’onda che va verso +z e H = -E/\eta per quella che torna indietro (il verso di \mathbf{E}\times\mathbf{H} si inverte): \frac{1 - \Gamma}{\eta_1} = \frac{\tau}{\eta_2}. Sostituendo \tau = 1 + \Gamma e risolvendo si ottiene \Gamma. ∎

Le potenze riflessa e trasmessa sono le frazioni |\Gamma|^2 e 1 - |\Gamma|^2 della potenza incidente (per materiali senza perdite).

Esempi.

  • Aria e vetro (n = 1{,}5, quindi \eta_2 = \eta_0/1{,}5): \Gamma = (1 - 1{,}5)/(1 + 1{,}5) = -0{,}2, si riflette il 4% della luce per ogni superficie. Gli strati antiriflesso degli occhiali e degli obiettivi sono pellicole spesse un quarto di lunghezza d’onda (circa 100 nm per la luce verde) che fanno interferire distruttivamente le due riflessioni.
  • Conduttore perfetto (\eta_2 = 0): \Gamma = -1, riflessione totale con inversione di fase. È il principio del radar e degli specchi metallici.

Le onde stazionarie

Con \Gamma = -1 l’onda totale nel materiale 1 è

    \[ E_1 = E_0\left(e^{-jkz} - e^{jkz}\right) = -2jE_0\sin(kz) \]

Non viaggia più: è un’onda stazionaria, con ampiezza 2E_0|\sin kz| che si annulla nei nodi (ogni \lambda/2, il primo sulla superficie del conduttore) ed è massima nei ventri. Nel forno a microonde, a 2,45 GHz, \lambda \approx 12 cm e i nodi distano circa 6 cm: per questo il piatto gira, altrimenti il cibo resterebbe freddo a chiazze.

Con riflessione parziale l’onda è in parte stazionaria e in parte viaggiante: l’ampiezza oscilla tra un massimo e un minimo.

Ampiezza del campo davanti a un carico con riflessione parziale
L’ampiezza del campo totale oscilla lungo z tra un valore massimo e uno minimo, con massimi distanti mezza lunghezza d’onda: è la sovrapposizione dell’onda incidente e di quella riflessa dal carico, rappresentato a destra.

Massimo e minimo si hanno dove le due onde sono in fase e in opposizione:

    \[ E_{max} = E_0(1 + |\Gamma|),\qquad E_{min} = E_0(1 - |\Gamma|) \]

Il loro rapporto è il rapporto d’onda stazionaria (ROS, in inglese VSWR):

    \[ \mathrm{ROS} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|} \]

Vale 1 senza riflessione e tende all’infinito con riflessione totale. Si misura facilmente spostando una sonda lungo la linea, ed è il parametro con cui si controlla, per esempio, che un’antenna sia ben collegata al trasmettitore: un ROS di 2 corrisponde a |\Gamma| = 1/3, cioè all’11% della potenza riflessa. Lo stesso concetto, con le tensioni al posto dei campi, si applica alle linee di trasmissione, dove la riflessione nasce da un carico diverso dall’impedenza caratteristica.

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