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Campi Elettromagnetici

Onde piane, equazione di Helmholtz ed effetto pelle

Regime sinusoidale e permittività complessa, equazione di Helmholtz con dimostrazione, onda piana e impedenza d'onda, potenza, materiali con perdite e profondità di penetrazione.

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Le equazioni di Maxwell ammettono soluzioni che si staccano dalle sorgenti e viaggiano da sole: le onde elettromagnetiche. Il caso più semplice e più utile è l’onda piana, che approssima bene qualsiasi onda lontano dalla sorgente che l’ha generata. In questa lezione ricaviamo l’equazione delle onde in regime sinusoidale, le proprietà dell’onda piana, l’impedenza d’onda e la propagazione nei materiali con perdite, con l’effetto pelle.

Il regime sinusoidale

Come nei circuiti, con sorgenti sinusoidali a pulsazione \omega si usano i fasori: ogni campo diventa un vettore complesso funzione solo della posizione, e la derivata nel tempo diventa una moltiplicazione per j\omega. Le equazioni dei rotori, in un materiale senza sorgenti, diventano

    \[ \nabla\times\mathbf{E} = -j\omega\mu\mathbf{H},\qquad \nabla\times\mathbf{H} = (\sigma + j\omega\varepsilon)\mathbf{E} = j\omega\varepsilon_c\mathbf{E} \]

dove \varepsilon_c = \varepsilon - j\sigma/\omega è la permittività complessa: la parte immaginaria tiene conto delle perdite, per conduzione o per l’attrito dei dipoli che si orientano.

L’equazione di Helmholtz

Teorema. In un materiale omogeneo senza sorgenti il campo elettrico soddisfa

    \[ \nabla^2\mathbf{E} + k^2\mathbf{E} = 0,\qquad k^2 = \omega^2\mu\varepsilon_c \]

Dimostrazione. Si calcola il rotore della prima equazione e si sostituisce la seconda:

    \[ \nabla\times\nabla\times\mathbf{E} = -j\omega\mu\,\nabla\times\mathbf{H} = \omega^2\mu\varepsilon_c\mathbf{E} \]

Per l’identità \nabla\times\nabla\times\mathbf{E} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} e poiché senza cariche \nabla\cdot\mathbf{E} = 0, si ottiene -\nabla^2\mathbf{E} = k^2\mathbf{E}. ∎

L’onda piana

Cerchiamo una soluzione che dipende solo da z, con il campo elettrico lungo x. L’equazione diventa \frac{d^2E_x}{dz^2} + k^2E_x = 0, con soluzione

    \[ E_x(z) = E_0\,e^{-jkz} \]

un’onda che viaggia verso +z (nel tempo, E_0\cos(\omega t - kz)). Dalla prima equazione di Maxwell si ricava il campo magnetico: H_y = E_x/\eta.

Onda piana: campo elettrico e magnetico perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione
Il campo elettrico oscilla lungo x, il campo magnetico lungo y, in fase tra loro; l’onda si propaga lungo z, nella direzione di E × H. La distanza tra due creste è la lunghezza d’onda.

Le proprietà, in un materiale senza perdite:

  • velocità di fase v = \omega/k = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}; nel vuoto c \approx 3\cdot 10^8 m/s, in un materiale c/n con n = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r};
  • lunghezza d’onda \lambda = 2\pi/k = v/f;
  • l’onda è trasversale: \mathbf{E}, \mathbf{H} e la direzione di propagazione sono perpendicolari a due a due, e \mathbf{E}\times\mathbf{H} punta nel verso di propagazione;
  • il rapporto tra i moduli è l’impedenza d’onda \eta = \sqrt{\mu/\varepsilon}, che nel vuoto vale \eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 377 Ω.

La potenza. Il valore medio del vettore di Poynting è

    \[ \langle S\rangle = \frac{|E_0|^2}{2\eta} \]

Esempio. La luce del Sole a terra porta circa 1000 W/m². Il campo elettrico corrispondente ha ampiezza E_0 = \sqrt{2\eta_0\cdot 1000} \approx 870 V/m.

I materiali con perdite

Con \sigma \ne 0, k è complesso. Si scrive jk = \gamma = \alpha + j\beta, e l’onda diventa

    \[ E_x(z) = E_0\,e^{-\alpha z}e^{-j\beta z} \]

un’onda che si propaga attenuandosi: \alpha è la costante di attenuazione (in Np/m), \beta la costante di fase.

Buon conduttore. Quando \sigma \gg \omega\varepsilon, \varepsilon_c \approx -j\sigma/\omega e k^2 \approx -j\omega\mu\sigma. Poiché \sqrt{-j} = (1 - j)/\sqrt2,

    \[ \alpha = \beta = \frac{1}{\delta},\qquad \delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}} \]

Il campo, e con lui la corrente, si riduce di un fattore e ogni profondità di penetrazione \delta: è l’effetto pelle.

Materiale e frequenza\delta
rame, 50 Hz9,3 mm
rame, 1 MHz66 µm
rame, 1 GHz2,1 µm
acqua di mare, 1 kHzcirca 8 m

Le conseguenze pratiche sono molte. Ad alta frequenza la corrente scorre solo in un sottile strato superficiale e la resistenza di un conduttore cresce come \sqrt f: per questo si usano conduttori argentati, cavi a trefoli isolati (filo di Litz) negli induttori degli alimentatori, e i cavi delle linee ad alta tensione hanno un’anima d’acciaio per la resistenza meccanica, mentre la corrente scorre soprattutto nell’alluminio esterno. Uno schermo metallico spesso qualche \delta blocca le onde: pochi micrometri di rame bastano a schermare un circuito a radiofrequenza. Infine, i sottomarini in immersione comunicano solo a frequenze bassissime, perché l’acqua di mare attenua tutto il resto in pochi metri.

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