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Campi Elettromagnetici

Radiazione: potenziali ritardati, dipolo elementare e resistenza di radiazione

Potenziali ritardati, campi del dipolo elementare, campo vicino e lontano, potenza irradiata e resistenza di radiazione con dimostrazione, direttività e dipolo a mezz'onda.

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Una carica ferma produce un campo elettrico, una corrente costante un campo magnetico; ma solo cariche accelerate, come le correnti variabili in un’antenna, producono campi che si staccano dalla sorgente e portano energia all’infinito. In questa lezione vediamo come si calcolano i campi irradiati con i potenziali ritardati, ricaviamo il campo del dipolo elementare, la potenza irradiata e la resistenza di radiazione.

I potenziali ritardati

Invece di risolvere direttamente le equazioni di Maxwell con le sorgenti, conviene introdurre il potenziale vettore \mathbf{A}, con \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}. In regime sinusoidale e con un’opportuna scelta (la condizione di Lorenz), \mathbf{A} soddisfa l’equazione di Helmholtz con sorgente \nabla^2\mathbf{A} + k^2\mathbf{A} = -\mu\mathbf{J}, la cui soluzione è

    \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu}{4\pi}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\frac{e^{-jkR}}{R}\,dV',\qquad R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}'| \]

È la stessa formula della magnetostatica con un fattore in più, e^{-jkR}: il contributo di ogni pezzo di corrente arriva in ritardo di R/c, il tempo che il campo impiega a percorrere la distanza. Da \mathbf{A} si ricavano \mathbf{H} = \nabla\times\mathbf{A}/\mu e, lontano dalle sorgenti, \mathbf{E} dalla legge di Ampère-Maxwell.

Il dipolo elementare

Il caso più semplice: un tratto di filo di lunghezza l \ll \lambda lungo l’asse z, percorso da una corrente uniforme I_0 (il dipolo hertziano). Lontano dal dipolo, a distanze molto maggiori della lunghezza d’onda (campo lontano), il risultato è

    \[ E_\theta = j\eta\,\frac{kI_0 l}{4\pi r}\,\sin\theta\;e^{-jkr},\qquad H_\phi = \frac{E_\theta}{\eta} \]

Lontano dalla sorgente il campo è localmente un’onda piana: \mathbf{E} e \mathbf{H} sono perpendicolari tra loro e alla direzione radiale, con rapporto \eta, e decrescono come 1/r. Vicino al dipolo ci sono anche termini in 1/r^2 e 1/r^3, che immagazzinano energia senza irradiarla (campo vicino); il passaggio tra le due zone avviene a una distanza dell’ordine di \lambda/(2\pi) per antenne piccole, 2D^2/\lambda per antenne di dimensione D.

Diagramma di radiazione del dipolo elementare nel piano verticale
La potenza irradiata per unità di angolo solido è proporzionale al quadrato del seno dell’angolo θ misurato dall’asse del dipolo: nulla lungo l’asse, massima nel piano perpendicolare, con una larghezza a metà potenza di 90°. La direttività vale 3/2.

Il fattore \sin\theta dice che il dipolo non irradia lungo il suo asse e irradia al massimo nel piano perpendicolare: è il motivo per cui le antenne verticali dei telefoni cordless e delle radio irradiano bene in orizzontale, verso le altre antenne, e poco verso il cielo.

La potenza irradiata e la resistenza di radiazione

Teorema. Il dipolo elementare irradia la potenza media

    \[ P = 40\pi^2\left(\frac{l}{\lambda}\right)^2 I_0^2 = \frac12 R_r I_0^2,\qquad R_r = 80\pi^2\left(\frac{l}{\lambda}\right)^2\ \Omega \]

Dimostrazione. Il vettore di Poynting medio in campo lontano è \langle S\rangle = |E_\theta|^2/(2\eta) = \frac{\eta k^2I_0^2l^2}{32\pi^2r^2}\sin^2\theta. La potenza totale si ottiene integrando su una sfera di raggio r, con dS = r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi:

    \[ P = \frac{\eta k^2I_0^2l^2}{32\pi^2}\cdot 2\pi\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta = \frac{\eta k^2I_0^2l^2}{32\pi^2}\cdot 2\pi\cdot\frac43 = \frac{\eta k^2I_0^2l^2}{12\pi} \]

dove \int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta = \int_{-1}^{1}(1 - u^2)\,du = 4/3 con u = \cos\theta. Con \eta = 120\pi Ω e k = 2\pi/\lambda si ottiene P = 40\pi^2(l/\lambda)^2I_0^2. ∎

La resistenza di radiazione R_r è la resistenza che, percorsa dalla stessa corrente, dissiperebbe la potenza irradiata: per il generatore, l’energia che se ne va sotto forma di onde è indistinguibile da quella dissipata in un resistore.

Esempio. Con l = \lambda/10, R_r = 80\pi^2\cdot 0{,}01 \approx 7{,}9 Ω. Con l = \lambda/100 appena 0,08 Ω: un’antenna molto corta rispetto alla lunghezza d’onda ha una resistenza di radiazione minuscola, confrontabile con quella dei conduttori, e gran parte della potenza si perde in calore. È il problema delle antenne delle radio a onde lunghe e delle etichette RFID.

La direttività del dipolo

La intensità di radiazione U(\theta) = r^2\langle S\rangle è la potenza per unità di angolo solido. La direttività confronta il massimo con la media su tutte le direzioni:

    \[ D = \frac{4\pi\,U_{max}}{P} = \frac{4\pi\cdot\eta k^2I_0^2l^2/(32\pi^2)}{\eta k^2I_0^2l^2/(12\pi)} = \frac{48\pi^2}{32\pi^2} = \frac32 \]

cioè 1,76 dBi: nella direzione migliore il dipolo irradia una volta e mezza più di una sorgente ideale che irradiasse ugualmente in tutte le direzioni (isotropa).

Il dipolo a mezz’onda

L’antenna reale più comune è il dipolo a mezz’onda: due bracci lunghi \lambda/4 ciascuno, alimentati al centro. La corrente non è uniforme ma ha un andamento sinusoidale, massima al centro e nulla alle estremità; ripetendo il calcolo si trovano una resistenza di radiazione di circa 73 Ω, che si adatta bene ai cavi da 50 o 75 Ω, e una direttività di 1,64 (2,15 dBi). L’antenna a stilo verticale su un piano metallico (monopolo a quarto d’onda), usata su auto e radio portatili, è metà di un dipolo: per il principio delle immagini si comporta come il dipolo intero, con metà resistenza, circa 36 Ω.

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