Adattamento di impedenza, trasformatore a quarto d’onda e carta di Smith
Coefficiente di riflessione del carico, impedenza d'ingresso con dimostrazione, casi notevoli, misure del disadattamento, trasformatore a quarto d'onda, carta di Smith e stub.
Una linea chiusa su un carico diverso dall’impedenza caratteristica riflette parte della potenza: il carico ne riceve meno, la linea si riempie di onde stazionarie e il trasmettitore può danneggiarsi. Inoltre l’impedenza vista all’ingresso della linea cambia con la sua lunghezza, in modo a volte sorprendente. In questa lezione ricaviamo l’impedenza d’ingresso di una linea, i casi notevoli, il trasformatore a quarto d’onda e lo strumento grafico che li riassume tutti: la carta di Smith.
Il coefficiente di riflessione del carico
Una linea senza perdite di impedenza 
è chiusa in 
su un carico 
. Lì deve valere 
, e con le soluzioni della lezione precedente:
![\[ Z_L = Z_0\,\frac{V^+ + V^-}{V^+ - V^-}\quad\Longrightarrow\quad \Gamma_L = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b19cfc92dd933dfd9ebaeb610579eefd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Se 
non c’è onda riflessa: la linea è adattata. Con il carico in cortocircuito 
, aperto 
.
L’impedenza d’ingresso
Teorema. L’impedenza vista a distanza 
dal carico è
![\[ Z_{in} = Z_0\,\frac{Z_L + jZ_0\tan\beta l}{Z_0 + jZ_L\tan\beta l} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f3f3c3ecbd3b212963b89af8d66fd72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. A distanza dal carico (cioè in 
):
![\[ Z_{in} = \frac{V(-l)}{I(-l)} = Z_0\,\frac{e^{j\beta l} + \Gamma_L e^{-j\beta l}}{e^{j\beta l} - \Gamma_L e^{-j\beta l}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-513b4f599b59c0a38407c3dad9cc55fd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sostituendo 
, moltiplicando numeratore e denominatore per 
e usando 
:
![\[ Z_{in} = Z_0\,\frac{(Z_L + Z_0)e^{j\beta l} + (Z_L - Z_0)e^{-j\beta l}}{(Z_L + Z_0)e^{j\beta l} - (Z_L - Z_0)e^{-j\beta l}} = Z_0\,\frac{2Z_L\cos\beta l + 2jZ_0\sin\beta l}{2Z_0\cos\beta l + 2jZ_L\sin\beta l} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-244e1e1dfedc1ed896097b423f755d62_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e dividendo per 
si ottiene la formula. ∎
I casi notevoli
- Linea adattata ():
a qualsiasi lunghezza. - Cortocircuito:
, puramente reattiva. Un tratto corto (meno di 
) si comporta da induttore, tra e 
da condensatore. A radiofrequenza si costruiscono così induttori e condensatori con un pezzo di pista. - Circuito aperto:
, il comportamento opposto. - Linea a mezz’onda (
, 
): 
, la linea è “trasparente”. - Linea a quarto d’onda (
, 
):
![\[ Z_{in} = \frac{Z_0^2}{Z_L} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c597881ba6925a598292543f7cf11609_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il quarto d’onda inverte l’impedenza: un cortocircuito diventa un circuito aperto e viceversa.
Le misure del disadattamento
Un carico disadattato si descrive con diverse grandezze equivalenti, tutte ricavabili da 
:
- il ROS,
(lezione sulla riflessione); - la perdita di ritorno,
dB: quanto è più debole l’onda riflessa; - la perdita per disadattamento,
dB: quanta potenza in meno arriva al carico.
Esempio. Un carico da 100 Ω su una linea da 50 Ω: 
, ROS = 2, perdita di ritorno 9,5 dB, e al carico arriva l’89% della potenza (perdita di 0,51 dB).
Il trasformatore a quarto d’onda
Per adattare il carico da 100 Ω alla linea da 50 Ω si inserisce un tratto lungo di una linea con impedenza 
. All’ingresso del tratto si vede 
, che deve valere 50 Ω:
![\[ Z_T = \sqrt{50\cdot 100} \approx 70{,}7\ \Omega \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-770b9bded459bd8a523ee0a0e98acf2e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il limite è la banda: la lunghezza è esattamente solo a una frequenza, e lontano da questa l’adattamento peggiora. Mettendo in cascata più tratti con impedenze graduate si allarga la banda.
La carta di Smith
Tutte queste formule si possono “vedere” su un unico grafico. L’idea è rappresentare il coefficiente di riflessione 
nel piano complesso: tutti i carichi passivi stanno nel cerchio 
. Su questo cerchio si disegna la griglia dell’impedenza normalizzata 
, legata a dalla trasformazione
![\[ \Gamma = \frac{z - 1}{z + 1} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d897cb215d428dc107ed6089a7630ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che manda le rette a parte reale costante in cerchi e quelle a parte immaginaria costante in archi di cerchio.
Spostarsi lungo una linea senza perdite moltiplica per 
: il modulo resta lo stesso e la fase ruota. Sulla carta il punto gira attorno al centro su un cerchio a ROS costante, in senso orario andando verso il generatore, e fa un giro completo ogni . L’impedenza d’ingresso si legge allora direttamente sulla griglia.
L’adattamento con uno stub. Il metodo classico per adattare un carico qualsiasi: ci si sposta lungo la linea finché la parte reale dell’ammettenza normalizzata vale 1 (si incontra il cerchio 
nella carta delle ammettenze), poi si mette in parallelo uno stub, un tratto di linea in cortocircuito di lunghezza scelta per annullare la parte immaginaria. Oggi gli stessi calcoli si fanno con un programma o direttamente sull’analizzatore di reti, che mostra le misure proprio su una carta di Smith; ma la carta resta il modo più immediato per capire cosa succede.
