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Elettronica per le Telecomunicazioni

Parametri S, coefficiente di riflessione e analizzatore di reti

Onde incidenti e riflesse, perdita di ritorno, ROS e disadattamento con esempio, matrice S, conservazione della potenza nei circuiti senza perdite dimostrata, misura con il VNA.

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Alle radiofrequenze tensioni e correnti dipendono dal punto della linea in cui si misurano, e i circuiti aperti e i cortocircuiti necessari per misurare i parametri classici di un doppio bipolo sono impossibili da realizzare o fanno oscillare i transistor. Si descrive allora un circuito con le onde che entrano ed escono dalle sue porte: sono i parametri di diffusione, o parametri S. In questa lezione vediamo le onde incidenti e riflesse, il coefficiente di riflessione con le grandezze che ne derivano e un esempio, la matrice S e la dimostrazione della relazione di conservazione per i circuiti senza perdite, e la misura con l’analizzatore di reti.

Onde incidenti e riflesse

Su una linea di trasmissione con impedenza caratteristica Z_0 (di solito 50 Ω) la tensione in ogni punto è la somma di un’onda che va verso il carico e di una che torna (lezione sulle linee di trasmissione di Campi elettromagnetici). Alla porta di un circuito si definiscono l’onda incidente a e l’onda riflessa b, normalizzate in modo che |a|^2 e |b|^2 siano le potenze che entrano ed escono.

Se la porta è chiusa su un carico Z_L, il coefficiente di riflessione è

    \[ \Gamma = \frac{b}{a} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} \]

Vale 0 per un carico adattato (Z_L = Z_0), -1 per un cortocircuito, +1 per un circuito aperto. Da \Gamma derivano le grandezze usate in pratica:

  • perdita di ritorno (return loss): RL = -20\log_{10}|\Gamma|, quanto è più debole l’onda riflessa;
  • rapporto d’onda stazionaria: ROS = (1 + |\Gamma|)/(1 - |\Gamma|) (lezione sulle onde stazionarie);
  • perdita di disadattamento: -10\log_{10}(1 - |\Gamma|^2), la potenza che non entra nel carico.

Esempio. Un’antenna con |\Gamma| = 0{,}1: perdita di ritorno 20 dB, ROS 1,22, perdita di disadattamento -10\log_{10}0{,}99 \approx 0{,}044 dB. Il 99 % della potenza entra nell’antenna. Con |\Gamma| = 0{,}33 (ROS 2), entra ancora l’89 %: un disadattamento moderato costa poca potenza, ma può danneggiare un amplificatore di potenza o renderlo instabile.

La matrice S

Per un doppio bipolo le onde uscenti dipendono linearmente da quelle entranti:

Doppio bipolo descritto con i parametri S
Alle porte 1 e 2 entrano le onde a 1 e a 2 ed escono le onde b 1 e b 2. La matrice S lega le onde uscenti a quelle entranti: b 1 uguale a S 11 a 1 più S 12 a 2, b 2 uguale a S 21 a 1 più S 22 a 2.

Ogni parametro si misura chiudendo l’altra porta su Z_0, cioè con onda entrante nulla:

  • S_{11}: coefficiente di riflessione all’ingresso con l’uscita adattata;
  • S_{21}: guadagno (o attenuazione) di trasmissione in avanti; |S_{21}|^2 è il guadagno di potenza tra generatore e carico da 50 Ω, e -20\log_{10}|S_{21}| è la perdita di inserzione di un filtro o di un cavo;
  • S_{12}: trasmissione inversa, l’isolamento; per un amplificatore è piccolo;
  • S_{22}: coefficiente di riflessione all’uscita.

Chiudere una porta su 50 Ω è facile anche a decine di gigahertz, e un transistor chiuso su 50 Ω di solito non oscilla: per questo i costruttori forniscono i transistor a radiofrequenza con le tabelle dei parametri S in funzione della frequenza.

Circuiti senza perdite

Teorema. In un doppio bipolo senza perdite |S_{11}|^2 + |S_{21}|^2 = 1 (e allo stesso modo |S_{12}|^2 + |S_{22}|^2 = 1).

Dimostrazione. Si alimenta la porta 1 con un’onda a_1 e si chiude la porta 2 su un carico adattato, quindi a_2 = 0. Entra la potenza |a_1|^2; escono |b_1|^2 = |S_{11}|^2|a_1|^2 riflessa alla porta 1 e |b_2|^2 = |S_{21}|^2|a_1|^2 trasmessa alla porta 2. Senza perdite la potenza si conserva: |a_1|^2 = |b_1|^2 + |b_2|^2, e dividendo per |a_1|^2 si ottiene la tesi. ∎

Più in generale la matrice S di un circuito senza perdite è unitaria, e quella di un circuito reciproco (senza materiali magnetizzati né componenti attivi) è simmetrica, S_{12} = S_{21}. Il teorema ha una conseguenza pratica: in un filtro senza perdite, la potenza che non passa è riflessa. Un filtro con perdita di ritorno di 20 dB nella banda passante (|S_{11}|^2 = 0{,}01) trasmette il 99 % della potenza, cioè ha una perdita di inserzione di 0,044 dB dovuta al solo disadattamento. Fuori banda, dove |S_{21}| è piccolo, |S_{11}| è quasi 1: il filtro respinge il segnale indietro verso il generatore.

La misura

I parametri S si misurano con l’analizzatore vettoriale di reti (VNA): genera un segnale a frequenza variabile, e con accoppiatori direzionali separa e misura in ampiezza e fase le onde incidenti e riflesse a ciascuna porta. Prima della misura si esegue una calibrazione con campioni noti (cortocircuito, circuito aperto, carico adattato, collegamento diretto), che permette di correggere matematicamente gli errori dei cavi e dei connettori e di riportare il piano di riferimento esattamente alle porte del dispositivo.

I parametri S descrivono il comportamento lineare; per i comportamenti non lineari (compressione, intermodulazione) servono altre misure (lezione sulla non linearità). Le lezioni che seguono usano i parametri S per progettare l’adattamento e gli amplificatori.

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