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Oscillatori, approfondimento: progetto di un Colpitts, il quarzo e il rumore di fase di Leeson

Progetto di un oscillatore Colpitts passo per passo, variante Clapp, modello elettrico del quarzo con le risonanze serie e parallelo dimostrate, le tre zone del rumore di fase nel modello di Leeson.

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Questa pagina approfondisce la lezione sugli oscillatori: progetta un Colpitts passo per passo, dalla capacità alla corrente di polarizzazione, presenta la variante Clapp, ricava le due risonanze del quarzo dal suo modello elettrico e spiega da dove vengono le tre zone del rumore di fase nel modello di Leeson.

Progettare un Colpitts passo per passo

Le formule della dimostrazione bastano per un progetto completo. Obiettivo: un oscillatore a 10 MHz con un’induttanza da 2,2 µH che ha fattore di qualità Q_L = 80, su un carico di 2 kΩ.

Passo 1: la capacità serie. Da \omega_0^2 = 1/(LC_s):

    \[ C_s = \frac{1}{\omega_0^2L} = \frac{1}{(2\pi\cdot 10^7)^2\cdot 2{,}2\cdot 10^{-6}} \approx 115\ \mathrm{pF} \]

Con C_1 = C_2 si ha C_s = C_1/2, quindi C_1 = C_2 = 230 pF (in pratica 220 pF più la capacità del transistor e del circuito stampato).

Passo 2: la resistenza di perdita. Un’induttanza con fattore di qualità Q_L equivale, vicino alla risonanza, a un’induttanza ideale con in parallelo la resistenza R_p = Q_L\,\omega_0L = 80\cdot 2\pi\cdot 10^7\cdot 2{,}2\cdot 10^{-6} \approx 11 kΩ. In parallelo al carico di 2 kΩ dà R \approx 1{,}7 kΩ: è la R della formula.

Passo 3: il guadagno necessario. La condizione di innesco richiede

    \[ g_m \ge \frac{C_1}{C_2R} = \frac{1}{1700} \approx 0{,}59\ \mathrm{mS} \]

Con un margine di 4 volte, g_m \approx 2{,}4 mS. Per un transistor bipolare g_m = I_C/V_T, quindi I_C = g_mV_T \approx 2{,}4\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}025 = 60 µA.

Passo 4: le correzioni. La dimostrazione supponeva che l’ingresso dell’amplificatore non assorbisse corrente. Un transistor bipolare ha invece una resistenza d’ingresso r_\pi = \beta/g_m (circa 40 kΩ con \beta = 100), che si somma alle perdite: in pratica si sceglie una corrente un po’ più alta, da 0,2 a 1 mA, e si verifica l’innesco in simulazione o sul banco. Una corrente troppo alta, però, porta il transistor in forte compressione e aumenta le armoniche.

Stima dell’ampiezza. Con un margine ampio il transistor lavora quasi in commutazione, e la componente fondamentale della corrente di collettore tende a 2I_C. L’ampiezza d’uscita è quindi circa V_2 \approx 2I_CR: con I_C = 0{,}5 mA e R = 1{,}7 kΩ, circa 1,7 V di picco. È il meccanismo con cui l’oscillatore regola da solo la propria ampiezza.

La variante Clapp

Nel Colpitts la frequenza dipende da C_1 e C_2, ai quali si sommano le capacità del transistor, che cambiano con la temperatura e la polarizzazione. Il Clapp aggiunge un condensatore C_3 piccolo in serie all’induttanza:

    \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC_{eq}}},\qquad \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} \]

Se C_3 \ll C_1, C_2, la capacità equivalente è quasi C_3 e la frequenza quasi non dipende più dal transistor. Il prezzo è un guadagno d’anello più basso, perché C_3 attenua il segnale riportato all’ingresso.

Il quarzo: modello elettrico e due risonanze

Un quarzo si rappresenta con il modello di Butterworth-Van Dyke: un ramo serie L_m, C_m, R_m (la vibrazione meccanica vista come circuito) in parallelo alla capacità C_0 degli elettrodi.

Teorema. Il quarzo ha una risonanza serie e una parallelo:

    \[ f_s = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_mC_m}},\qquad f_p = f_s\sqrt{1 + \frac{C_m}{C_0}} \approx f_s\left(1 + \frac{C_m}{2C_0}\right) \]

Dimostrazione. Trascurando R_m, la reattanza del ramo serie è X_s = \omega L_m - 1/(\omega C_m), nulla per \omega^2L_mC_m = 1: è la risonanza serie, dove l’impedenza del quarzo è minima. Il ramo serie è in parallelo con C_0, di reattanza -1/(\omega C_0); l’impedenza del parallelo diventa infinita quando le due reattanze sono uguali e opposte, cioè \omega L_m - 1/(\omega C_m) = 1/(\omega C_0). Moltiplicando per \omega C_m: \omega^2L_mC_m = 1 + C_m/C_0, da cui f_p. Poiché C_m \ll C_0, lo sviluppo \sqrt{1 + x} \approx 1 + x/2 dà la forma approssimata. ∎

Reattanza di un quarzo in funzione della frequenza
La curva blu è capacitiva, negativa, sotto la risonanza serie f s, dove passa per lo zero; tra f s e la risonanza parallelo f p, nella fascia verde, è induttiva e cresce rapidamente verso l’infinito; sopra f p torna capacitiva. Gli oscillatori a quarzo lavorano nella stretta fascia induttiva.

La fascia tra f_s e f_p è strettissima, e lì il quarzo si comporta come un’induttanza che varia moltissimo con la frequenza. Nel Colpitts a quarzo il cristallo prende il posto di L: il circuito trova da solo la frequenza, dentro quella fascia, che soddisfa la condizione di fase, e piccoli sfasamenti la spostano pochissimo. È la versione estrema del legame tra Q e stabilità visto nella lezione.

Perché il rumore di fase ha quella forma

Il grafico del modello di Leeson ha tre zone, ognuna con una spiegazione semplice.

  • Lontano dalla portante il rumore è piatto: è il rumore termico dell’amplificatore, FkT, diviso per la potenza del segnale P_s (il 2 tiene conto delle due bande laterali).
  • Dentro la banda del risuonatore, per \Delta f \mathchar"313C f_0/(2Q), l’anello converte le fluttuazioni di fase in fluttuazioni di frequenza: una fase che fluttua di \Delta\varphi sposta la frequenza di \Delta\varphi f_0/(2Q), come si dimostra nella lezione. Il rumore di frequenza, integrato, diventa rumore di fase con un fattore 1/\Delta f in ampiezza, cioè 1/\Delta f^2 in potenza: pendenza di −20 dB per decade.
  • Molto vicino alla portante si aggiunge il rumore 1/f (flicker) del transistor, che sotto la frequenza d’angolo f_c moltiplica tutto per f_c/\Delta f: la pendenza diventa −30 dB per decade.

    \[ \mathcal{L}(\Delta f) = 10\log_{10}\left[\frac{2FkT}{P_s}\left(1 + \left(\frac{f_0}{2Q\,\Delta f}\right)^2\right)\left(1 + \frac{f_c}{\Delta f}\right)\right] \]

Rumore di fase secondo il modello di Leeson, in scala logaritmica
Partendo da destra, la curva è piatta al livello F k T su P; sotto f zero su 2 Q sale con pendenza di 20 dB per decade, e sotto la frequenza d’angolo f c del rumore flicker la pendenza diventa di 30 dB per decade.

Errori tipici

  • Sommare C_1 e C_2: dal punto di vista dell’induttanza i due condensatori sono in serie, e la frequenza si calcola con C_s = C_1C_2/(C_1 + C_2).
  • Dimenticare il margine di guadagno: con g_mR esattamente uguale a C_1/C_2 il circuito non si innesca, perché tolleranze e temperatura lo portano sotto la soglia.
  • Trascurare il carico dell’ingresso del transistor: r_\pi e la capacità base-emettitore entrano nella rete e cambiano sia la condizione di innesco sia la frequenza.
  • Confondere f_s e f_p del quarzo: in un oscillatore parallelo la frequenza effettiva dipende dalla capacità di carico indicata nel foglio dati, e con una capacità diversa il quarzo lavora fuori frequenza.
  • Leggere i dBc/Hz come una potenza totale: per sapere quanto rumore entra in un canale bisogna aggiungere 10\log_{10} della sua banda.

Gli esercizi sull’argomento, dalla frequenza di un Colpitts al mescolamento reciproco in un ricevitore, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

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