Esercizi sugli oscillatori svolti: Colpitts, Clapp, rumore di fase e quarzo
Sei esercizi con soluzione: frequenza e innesco di un Colpitts, variante Clapp, rumore di fase con il modello di Leeson, mescolamento reciproco nel ricevitore, risonanze e tiraggio del quarzo, deriva di frequenza.
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Esercizi sugli oscillatori del tipo che si danno nei corsi di Elettronica delle telecomunicazioni e di Elettronica applicata, in tre livelli: base, per l’uso diretto delle formule; medio, sul rumore di fase e sui suoi effetti nei ricevitori; esame, sui quarzi e sulla stabilità. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa si apre con un clic. Le dimostrazioni sono nella lezione e nell’approfondimento collegati in cima.
Livello base
Esercizio 1. La frequenza di un Colpitts
Un oscillatore Colpitts ha 
µH, 
pF e 
nF. Calcolare la frequenza di oscillazione e il guadagno minimo 
per l’innesco.
Risultato: 
MHz; 
.
Soluzione
La capacità vista dall’induttanza è la serie dei due condensatori:
![\[ C_s = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} = \frac{470\cdot 1000}{1470}\ \mathrm{pF} \approx 320\ \mathrm{pF} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3077fd09c62e323392c1f6daf7c53689_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_s}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4{,}7\cdot 10^{-6}\cdot 3{,}2\cdot 10^{-10}}} \approx 4{,}10\ \mathrm{MHz} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20cd16361d221cff0119c9c36af09f8e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La condizione di innesco è 
.
Esercizio 2. La variante Clapp
Allo stesso circuito si aggiunge in serie all’induttanza un condensatore 
pF. Quanto vale la nuova frequenza? Di quanto cambia se la capacità del transistor aggiunge 20 pF a 
?
Risultato: 
MHz; con 20 pF in più su la frequenza scende solo di circa lo 0,2%.
Soluzione
![\[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{470} + \frac{1}{1000} + \frac{1}{47}\ \mathrm{pF^{-1}}\quad\Rightarrow\quad C_{eq} \approx 41{,}0\ \mathrm{pF} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cfcc253be9481e999f8598e4aa8cd1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{4{,}7\cdot 10^{-6}\cdot 4{,}10\cdot 10^{-11}}} \approx 11{,}5\ \mathrm{MHz} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2e4182070d69e6d477fabad154aecf1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con 
pF: 
pF, cioè lo 0,4% in più, e la frequenza scende dello 0,2% circa. Nel Colpitts senza 
gli stessi 20 pF avrebbero spostato 
da 320 a 329 pF, quasi il 3%, e la frequenza dell’1,4%: è il vantaggio del Clapp.
Livello medio
Esercizio 3. Rumore di fase di un oscillatore LC
Un oscillatore a 100 MHz ha un risuonatore con 
, amplificatore con cifra di rumore di 10 dB (
), potenza nel risuonatore 1 mW, 
kHz. Stimare 
a 10 kHz dalla portante. (
J.)
Risultato: 
dBc/Hz.
Soluzione
Il pavimento: 
, cioè −161 dBc/Hz.
La frequenza del risuonatore: 
MHz. A 
kHz il secondo fattore è 
, cioè +40 dB. Il fattore flicker è 
, circa +0,4 dB.
![\[ \mathcal{L}(10\ \mathrm{kHz}) \approx -161 + 40 + 0{,}4 \approx -121\ \mathrm{dBc/Hz} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc28135bb660f1f2d3babc4341df4a85_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con un risuonatore a quarzo di 
alla stessa frequenza, 
Hz: a 10 kHz si resterebbe sul pavimento, a −161 dBc/Hz. È la ragione per cui il riferimento di ogni sintetizzatore è un quarzo.
Esercizio 4. Mescolamento reciproco
Un ricevitore con canali larghi 10 kHz deve ricevere un segnale debole mentre sul canale a 25 kHz di distanza c’è un trasmettitore 60 dB più forte. L’oscillatore locale ha −120 dBc/Hz a 25 kHz. Qual è il rapporto segnale/rumore massimo?
Risultato: Il rapporto segnale/rumore non può superare 20 dB.
Soluzione
Il segnale forte si mescola con la “gonna” dell’oscillatore e porta nel canale voluto una potenza pari alla sua, attenuata del rumore di fase integrato sulla banda del canale:
![\[ -120\ \mathrm{dBc/Hz} + 10\log_{10}(10^4\ \mathrm{Hz}) = -80\ \mathrm{dBc} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d7863af5477e4197ed2f943e4744d7c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il disturbo nel canale è quindi 80 dB sotto il segnale forte, cioè 
dB rispetto al segnale voluto: il rapporto segnale/rumore non può superare 20 dB, qualunque sia la cifra di rumore del ricevitore. Per una modulazione che richiede 25 dB serve un oscillatore almeno 5 dB migliore.
Livello esame
Esercizio 5. Le due risonanze e il “tiraggio” del quarzo
Un quarzo da 10 MHz ha 
fF, 
pF, 
Ω. Calcolare 
, il fattore di qualità, la distanza tra 
e 
e lo spostamento di frequenza quando lavora con una capacità di carico 
pF in serie.
Risultato: 
mH, 
, 
kHz, con 18 pF di carico la frequenza sale di circa 4,3 kHz.
Soluzione
mH: un’induttanza enorme, impossibile da costruire come bobina con queste perdite. Il fattore di qualità è 
.
![\[ f_p - f_s \approx f_s\frac{C_m}{2C_0} = 10^7\cdot\frac{2\cdot 10^{-14}}{10^{-11}} = 20\ \mathrm{kHz} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-786fb3fc7d07a55202ee666462d91595_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con il carico 
in serie, la risonanza si sposta alla frequenza in cui la reattanza induttiva del quarzo compensa : 
, cioè 
kHz, 435 ppm. Cambiare di 1 pF sposta la frequenza di circa 
Hz, 19 ppm: è il tiraggio (pulling) usato nei VCXO per regolare finemente la frequenza con un varactor.
Esercizio 6. L’effetto di uno sfasamento
In un oscillatore a 433 MHz con risuonatore LC di 
, la capacità del transistor cambia con la temperatura e produce uno sfasamento di 0,02 rad. Di quanto si sposta la frequenza? Basta per restare in un canale di 25 kHz?
Risultato: 
kHz: no, sono circa sei canali.
Soluzione
![\[ \frac{\Delta f}{f_0} = \frac{\Delta\varphi}{2Q} = \frac{0{,}02}{60} \approx 3{,}3\cdot 10^{-4}\quad\Rightarrow\quad \Delta f \approx 433\cdot 10^6\cdot 3{,}3\cdot 10^{-4} \approx 144\ \mathrm{kHz} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8aa3fa7834d54894a16f320f226f89a5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sei canali di deriva: inaccettabile. Le soluzioni sono un risonatore SAW (a onde acustiche superficiali, con 
di qualche migliaio) o un PLL agganciato a un quarzo, che riporta la stabilità a qualche ppm (circa 1 kHz).
