Non linearità: intermodulazione, compressione e mixer
Modello polinomiale, IIP3 dalla misura a due toni dimostrato, punto di compressione 9,6 dB sotto IIP3 dimostrato, dinamica libera da spurie dimostrata, mixer a diodi e cella di Gilbert.
Un amplificatore ideale è lineare; uno reale, per segnali grandi, comprime e distorce. In un ricevitore questo significa che due segnali forti fuori dal canale voluto possono generare un prodotto spurio proprio dentro il canale, coprendo un segnale debole. Il mixer, invece, sfrutta la non linearità di proposito per spostare un segnale in frequenza. In questa lezione vediamo il modello polinomiale, l’intermodulazione del terzo ordine con le dimostrazioni sul punto d’intercetta e sul punto di compressione, la dinamica libera da spurie con un esempio, e i mixer.
Il modello polinomiale
Una non linearità debole e senza memoria si approssima con i primi termini di uno sviluppo in serie:
![\[ y = a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b052c0401956976967dab39f365f2f69_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con un solo segnale 
, il termine quadratico produce la continua e la seconda armonica, quello cubico la terza armonica e un termine alla frequenza fondamentale, 
, che si somma a 
. Se 
ha segno opposto ad 
(come in quasi tutti gli amplificatori, che saturano), il guadagno cala al crescere dell’ampiezza: è la compressione. Le armoniche cadono lontano e si filtrano; il problema vero nasce con due segnali.
L’intermodulazione
Con due toni vicini, 
, il termine cubico produce, oltre alle armoniche, componenti alle frequenze 
e 
, di ampiezza . Queste intermodulazioni del terzo ordine (IM3) cadono vicinissime ai toni originali, dentro la banda del filtro: un ricevitore sintonizzato su sente un segnale che non esiste.
Il termine fondamentale cresce come 
(1 dB per dB in scala logaritmica), quello di intermodulazione come 
(3 dB per dB). Prolungando le due rette, si incontrano nel punto d’intercetta del terzo ordine: la potenza d’ingresso IIP3 (e la corrispondente d’uscita OIP3) a cui avrebbero lo stesso livello.
Teorema. Se con potenza d’ingresso 
(per tono, in dBm) i prodotti di intermodulazione in uscita sono 
dB sotto le fondamentali, allora
![\[ IIP_3 = P_{in} + \frac{\Delta P}{2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8cb3b0f64611052b57cbae109e8ea8b3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. In decibel, la fondamentale in uscita è 
e l’intermodulazione 
, con 
e 
costanti. La loro differenza è 
. Nel punto d’intercetta la differenza è zero: 
. Sottraendo, 
, da cui la formula. ∎
Esempio. Con due toni da 
dBm ciascuno, i prodotti di intermodulazione escono 60 dB sotto le fondamentali: 
dBm. La misura si fa sempre a livelli bassi, nella zona in cui le pendenze sono davvero 1 e 3, e si estrapola: il punto d’intercetta non si raggiunge mai, perché prima l’amplificatore satura.
Teorema. Per una non linearità cubica, il punto di compressione di 1 dB (la potenza d’ingresso a cui il guadagno è sceso di 1 dB) si trova circa 9,6 dB sotto IIP3.
Dimostrazione. Dalla prima parte, il guadagno con un tono di ampiezza è 
. Scende di 1 dB, cioè al fattore 0,891, quando 
, quindi 
. All’intercetta 
, quindi 
. Il rapporto delle potenze è 
, cioè 
dB. ∎
Per una catena di stadi, gli stadi finali sono i più critici: il segnale vi arriva già amplificato. In unità lineari 
, duale della formula di Friis per il rumore: il rumore lo decide il primo stadio, la linearità l’ultimo.
La dinamica libera da spurie
Un ricevitore ha un limite inferiore, il rumore di fondo 
nella sua banda, e un limite superiore, il livello a cui l’intermodulazione emerge dal rumore. La dinamica libera da spurie (SFDR) è la distanza tra i due.
Teorema. 
, con tutte le grandezze in dB riferite all’ingresso.
Dimostrazione. Riferita all’ingresso, l’intermodulazione vale 
(retta di pendenza 3 che vale 
quando 
). Uguagliandola al rumore: 
. La dinamica è 
. ∎
Esempio. Rumore di fondo 
dBm, IIP3 
dBm: SFDR 
dB.
I mixer
Il mixer sposta un segnale in frequenza moltiplicandolo per un oscillatore locale: per l’identità ![\cos a\cos b = \frac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f41bf10e848ac390f44c9d826a28da3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, un segnale a 
moltiplicato per 
produce componenti a 
e 
(lezione sul ricevitore supereterodina). Ogni dispositivo non lineare può fare da mixer attraverso il suo termine quadratico, ma i mixer reali sono progettati per avvicinarsi a un moltiplicatore:
- il mixer a diodi bilanciato ad anello, passivo, molto lineare, con una perdita di conversione di circa 6 dB;
- la cella di Gilbert, con due coppie differenziali incrociate commutate dall’oscillatore locale: un moltiplicatore integrato con guadagno di conversione, usato in quasi tutti i ricetrasmettitori integrati;
- i mixer a commutazione passivi in CMOS, transistor usati come interruttori, molto lineari e a basso rumore flicker.
La struttura bilanciata cancella in uscita l’oscillatore locale e il segnale d’ingresso, che altrimenti saturerebbero gli stadi successivi o si irradierebbero dall’antenna. Nei mixer contano gli stessi parametri degli amplificatori (guadagno, rumore, IIP3), più l’isolamento tra le porte.
