Adattamento di impedenza con reti a L

Un’antenna da 20 Ω, l’ingresso di un transistor da 10 Ω con una parte capacitiva, un filtro progettato per 50 Ω: per trasferire la massima potenza e non avere riflessioni bisogna trasformare un’impedenza nell’altra con una rete senza perdite. Con le linee di trasmissione si usano i tratti a quarto d’onda e la carta di Smith (lezione sull’adattamento di Campi elettromagnetici); con componenti concentrati la soluzione più semplice è la rete a L. In questa lezione vediamo il teorema del massimo trasferimento di potenza con i carichi complessi, il progetto della rete a L con la dimostrazione delle formule e un esempio numerico, il legame tra fattore di qualità e banda, e le reti a più elementi.

Il massimo trasferimento di potenza

Teorema. Un generatore con impedenza interna cede la massima potenza a un carico , cioè e (adattamento coniugato).

Dimostrazione. Con tensione efficace , la potenza nel carico è . La reattanza compare solo al denominatore, sommata al quadrato: è massima per , che annulla quel termine. Resta , massima per (lezione sul massimo trasferimento di Elettrotecnica). ∎

Una rete di adattamento senza perdite deve quindi far vedere al generatore il coniugato della sua impedenza; se generatore e carico sono resistivi, deve trasformare una resistenza in un’altra.

La rete a L

Per adattare una resistenza bassa a una alta si mette una reattanza in serie dal lato della resistenza bassa e una reattanza in parallelo dal lato di quella alta, di segno opposto.

Teorema. Con

e reattanze di segno opposto, la rete trasforma in .

Dimostrazione. Si converte il parallelo di e nell’equivalente serie. L’ammettenza è ; con , l’impedenza equivalente vale

(si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato). Perché la parte reale sia serve , cioè la prima formula. La parte immaginaria vale allora in modulo, e la reattanza serie, di segno opposto e uguale modulo, , la annulla. Resta . ∎

Esempio. Adattare 200 Ω a 50 Ω a 100 MHz: . Ω, cioè nH; Ω, cioè pF. La versione con il condensatore in serie e l’induttanza in parallelo funziona altrettanto: la prima è un passa-basso (attenua anche le armoniche, utile dopo un amplificatore di potenza), la seconda un passa-alto (lascia passare la continua di polarizzazione se serve bloccarla altrove).

Fattore di qualità e banda

L’adattamento è esatto a una sola frequenza; allontanandosi le reattanze cambiano e il disadattamento cresce. Il parametro della rete a L è fissato dal rapporto delle resistenze, e la banda in cui l’adattamento è buono è circa inversamente proporzionale a (lezione sui circuiti risonanti). Rapporti grandi danno grande e banda stretta: adattare 1 Ω a 50 Ω richiede .

• Per una banda più larga si usano più sezioni a L in cascata, ciascuna con un rapporto piccolo: con due sezioni si passa per la resistenza intermedia (la media geometrica), e ogni sezione ha minore. È lo stesso principio dei trasformatori a più tratti di linea.
• Per una banda stretta e un scelto liberamente (per esempio per filtrare le armoniche) si usano reti a π o a T, viste come due reti a L dorso a dorso attraverso una resistenza virtuale.

Nella pratica i componenti hanno perdite (un’induttanza a 1 GHz può avere un proprio di 30-50) e parassiti, e le reti si ottimizzano con un simulatore partendo dal progetto analitico. Sopra qualche gigahertz i componenti concentrati lasciano il posto a tratti di linea su circuito stampato (microstriscia), con gli stessi principi.

Un caso tipico

L’antenna di un telefono cambia impedenza a seconda di come lo si tiene in mano: la mano vicina aggiunge capacità e perdite. I telefoni moderni usano reti di adattamento sintonizzabili, con condensatori variabili comandati digitalmente, che il software regola misurando la potenza riflessa. È l’adattamento della lezione eseguito in tempo reale, decine di volte al secondo.