Decisioni in condizioni di incertezza
Criteri di decisione, valore atteso, albero delle decisioni con esempio, valore dell'informazione perfetta non negativo dimostrato, utilità, opzioni reali, distorsioni cognitive.
Lanciare un prodotto, costruire un nuovo stabilimento, investire in una tecnologia non ancora matura: le decisioni importanti si prendono senza sapere come andrà. La teoria delle decisioni non elimina l’incertezza, ma la rende esplicita e permette di confrontare le alternative in modo coerente. In questa lezione vediamo i criteri di decisione, gli alberi delle decisioni con un esempio, il valore dell’informazione perfetta con la dimostrazione che non è mai negativo, e i limiti del valore atteso.
I criteri
Una decisione ha alternative 
, stati del mondo 
incerti e risultati 
. Senza probabilità si usano criteri come il maximin (scegliere l’alternativa con il risultato peggiore migliore, da pessimisti) o il minimax rimpianto (minimizzare la massima differenza rispetto alla scelta che sarebbe stata ottima a posteriori). Con probabilità 
stimate, il criterio standard è il valore atteso:
![\[ VE(a) = \sum_\theta P(\theta)\,U(a, \theta) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-494291d69e4b6ad7597c79ac6c6c4598_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e si sceglie l’alternativa che lo rende massimo.
L’albero delle decisioni
Le decisioni in più fasi si rappresentano con un albero: i quadrati sono decisioni, i cerchi eventi casuali, le foglie i risultati. Si risolve all’indietro: in ogni nodo casuale si calcola il valore atteso, in ogni nodo di decisione si sceglie il ramo migliore.
Esempio. Lanciare un prodotto costa; con probabilità 0,4 ha successo e porta un risultato netto di +500 (migliaia di euro), con probabilità 0,6 fallisce e porta 
. Non lanciarlo vale 0. Il valore atteso del lancio è 
: si lancia.
Il valore dell’informazione
Una ricerca di mercato potrebbe ridurre l’incertezza prima di decidere. Quanto vale? Un limite superiore è il valore dell’informazione perfetta: se si sapesse in anticipo lo stato del mondo, si sceglierebbe ogni volta l’alternativa migliore.
![\[ VEIP = \sum_\theta P(\theta)\max_aU(a, \theta) - \max_a\sum_\theta P(\theta)U(a, \theta) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-930cb6ee4764bb6f23448c5bb321fd49_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Teorema. Il valore dell’informazione perfetta non è mai negativo.
Dimostrazione. Per ogni alternativa e ogni stato , 
. Moltiplicando per 
e sommando su : 
per ogni , quindi anche per l’alternativa che massimizza 
. La differenza è dunque non negativa. ∎
Esempio. Con l’informazione perfetta si lancerebbe solo in caso di successo: 
. Il VEIP è 
: nessuna ricerca di mercato può valere più di 120 mila euro. Una ricerca reale è imperfetta (a volte prevede il successo e il prodotto fallisce); il suo valore si calcola con un albero più grande, aggiornando le probabilità con il teorema di Bayes (lezione sulla probabilità di Teoria dei segnali) in base all’esito della ricerca, ed è sempre minore del VEIP.
Oltre il valore atteso
Il valore atteso è il criterio giusto per decisioni ripetute e piccole rispetto alle dimensioni dell’azienda: nel lungo periodo le fortune e le sfortune si compensano. Per decisioni grandi e uniche conta anche il rischio: un progetto con valore atteso positivo ma una probabilità del 10 % di far fallire l’azienda può essere inaccettabile. Si usano allora:
- l’utilità attesa, con una funzione di utilità concava che pesa le perdite grandi più che proporzionalmente (avversione al rischio);
- l’analisi dei casi peggiori e i limiti di esposizione;
- le opzioni reali: in molti progetti si può decidere a fasi, investendo poco in una fase pilota e il resto solo se le cose vanno bene. La possibilità di fermarsi ha un valore, che un semplice calcolo del valore attuale netto (lezione sugli investimenti di Economia aziendale) non vede.
C’è poi la difficoltà umana di stimare probabilità: le persone tendono a sopravvalutare le proprie previsioni, a farsi influenzare dal primo numero sentito (ancoraggio) e a continuare progetti in perdita per non riconoscere l’errore (costi irrecuperabili). Rendere esplicite le ipotesi in un albero aiuta a discuterle.
