Gestione dei progetti: percorso critico, PERT e valore guadagnato
WBS e precedenze, durata minima uguale al percorso più lungo dimostrata, margini con esempio, PERT e probabilità di completamento, indici CPI e SPI.
Lo sviluppo di un prodotto, la costruzione di un impianto, l’introduzione di un nuovo sistema informativo sono progetti: attività uniche, con un inizio, una fine, un budget e un obiettivo. La gestione dei progetti tiene sotto controllo tempi, costi e contenuti. In questa lezione vediamo la scomposizione del lavoro, il metodo del percorso critico con la dimostrazione che la durata minima è il percorso più lungo e un esempio con i margini, il metodo PERT per le durate incerte con il calcolo di una probabilità, e il controllo dell’avanzamento.
La scomposizione del lavoro
Il primo passo è la WBS (work breakdown structure): il progetto si scompone in pacchetti di lavoro sempre più piccoli, finché ciascuno è stimabile in durata e costo e assegnabile a un responsabile. Poi si stabiliscono le precedenze: quali attività devono finire prima che altre possano iniziare.
Il percorso critico
Le attività e le precedenze formano un reticolo: ogni attività è un nodo con la sua durata, e le frecce indicano le precedenze.
Teorema. Se ogni attività inizia appena tutte le precedenti sono finite, il progetto dura esattamente quanto il percorso più lungo (somma delle durate) dall’inizio alla fine del reticolo, e nessuna programmazione può farlo durare meno.
Dimostrazione. Su qualunque percorso le attività devono svolgersi una dopo l’altra, quindi il progetto dura almeno la somma delle durate di ogni percorso, e in particolare del più lungo: è un limite inferiore. Programmando ogni attività al suo inizio più presto (il massimo dei tempi di fine delle precedenti), si dimostra per induzione lungo il reticolo che la fine più presta di ogni attività è uguale alla lunghezza del percorso più lungo che termina in essa: per un’attività senza precedenti è la sua durata; per le altre è il massimo sulle precedenti più la propria durata, cioè il percorso più lungo. Il nodo finale finisce quindi esattamente alla lunghezza del percorso più lungo, e il limite è raggiunto. ∎
Il percorso più lungo è il percorso critico: un ritardo in una sua attività ritarda tutto il progetto. Le altre attività hanno un margine (slack): il ritardo che possono subire senza effetti, calcolato come differenza tra l’inizio più tardi e l’inizio più presto.
Esempio. Nel reticolo della figura i percorsi sono A-C-E (8 settimane), A-D-E (11) e B-D-E (12): il percorso critico è B-D-E, e il progetto dura 12 settimane. Procedendo all’indietro dalla fine: E deve iniziare entro la settimana 9, D entro la 4, quindi A deve finire entro la 4 e iniziare entro la 1: A ha un margine di 1 settimana. C deve finire entro la 9, quindi iniziare entro la 7, mentre può iniziare alla 3: margine di 4 settimane. Per accorciare il progetto bisogna agire sulle attività critiche, per esempio aggiungendo risorse a D; accelerare C non serve a nulla.
Durate incerte: il PERT
Le durate sono stime. Il metodo PERT chiede per ogni attività tre stime: ottimistica 
, più probabile 
, pessimistica 
, e usa come media e varianza
![\[ \mu = \frac{a + 4m + b}{6},\qquad \sigma^2 = \left(\frac{b - a}{6}\right)^2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de1f5968ff79f049cbf9812fd3087789_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(sono le formule di una distribuzione beta approssimata). La durata del percorso critico è una somma di durate indipendenti: la media è la somma delle medie, la varianza la somma delle varianze, e per il teorema del limite centrale la distribuzione è circa normale (lezione sulla probabilità di Teoria dei segnali).
Esempio. Per B stime (2, 4, 6), per D (3, 5, 7), per E (2, 3, 4): medie 4, 5 e 3, varianze 0,44, 0,44 e 0,11. Il percorso critico ha media 12 e varianza 1, cioè deviazione standard di 1 settimana. La probabilità di finire entro 13,5 settimane è 
%. Attenzione: un percorso quasi critico con varianza grande può diventare critico, e il metodo, che guarda solo il percorso critico medio, tende a essere ottimista.
Il controllo dell’avanzamento
Durante il progetto si confrontano tre grandezze: il valore pianificato del lavoro che doveva essere fatto (PV), il valore del lavoro effettivamente fatto (EV, earned value) e il costo effettivamente sostenuto (AC). Gli indici 
e 
dicono se si sta spendendo più del previsto e se si è in ritardo; per esempio 
significa che ogni euro speso produce 90 centesimi di lavoro, e una stima della spesa finale è il budget diviso per 0,9. Il metodo del valore guadagnato segnala i problemi presto, quando c’è ancora tempo per correggere.
