Esercizi sulle azioni interne svolti: diagrammi di taglio e momento flettente
Sei esercizi con soluzione: trave appoggiata con carico uniforme e con due carichi concentrati, carico fuori mezzeria, mensola con carichi combinati, trave con sbalzo, carico uniforme su metà luce.
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Esercizi sulle azioni interne del tipo che si danno nei corsi di Scienza delle costruzioni e di Meccanica delle strutture, in tre livelli: base, con travi appoggiate e carichi simmetrici; medio, con carichi in posizione qualunque e sovrapposizione degli effetti; esame, con sbalzi e carichi parziali. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa si apre con un clic. Le dimostrazioni sono nella lezione e nell’approfondimento collegati in cima.
Livello base
Esercizio 1. Trave appoggiata con carico uniforme
Una trave appoggiata di 8 m porta un carico uniforme di 5 kN/m. Calcolare reazioni, taglio massimo e momento massimo.
Risultato: 
kN; 
kN agli appoggi; 
kNm in mezzeria.
Soluzione
Il carico totale è 
kN; per simmetria ogni appoggio ne porta metà: kN. Il taglio va linearmente da +20 kN a −20 kN e si annulla in mezzeria, dove il momento è massimo:
![\[ M_{max} = \frac{qL^2}{8} = \frac{5\cdot 64}{8} = 40\ \mathrm{kNm} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8599b444694f8899d5fa3ab9c98d48e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Controllo con la regola delle aree: il triangolo del taglio tra l’appoggio e la mezzeria ha area 
kNm.
Esercizio 2. Due carichi concentrati
Una trave appoggiata di 6 m porta due carichi da 10 kN, a 2 m e a 4 m dall’appoggio sinistro. Disegnare i diagrammi e trovare il momento massimo.
Risultato: 
kN; 
kNm, costante tra i due carichi.
Soluzione
Per simmetria kN. Il taglio vale +10 kN da 
al primo carico, 0 tra i due carichi, −10 kN dal secondo carico a 
.
Con la regola delle aree: il momento sale da 0 a 
kNm nel primo tratto, resta costante a 20 kNm nel tratto centrale (taglio nullo) e scende a zero nell’ultimo. Il tratto centrale è in flessione pura: momento costante e taglio nullo, la situazione usata nelle prove di laboratorio sulle travi.
Livello medio
Esercizio 3. Carico concentrato fuori mezzeria
Trave appoggiata di 5 m con un carico di 20 kN a 2 m dall’appoggio sinistro. Reazioni, taglio e momento massimo.
Risultato: 
kN, 
kN; 
kNm sotto il carico.
Soluzione
m, 
m. 
kN, 
kN. Il taglio vale +12 kN da al carico e −8 kN dal carico a . Il momento massimo, sotto il carico, è 
kNm, uguale a 
. Controllo: dal carico a il momento scende di 
kNm e torna a zero.
Esercizio 4. Mensola con carico uniforme e concentrato
Mensola di 3 m con un carico uniforme di 4 kN/m e un carico di 5 kN all’estremo. Taglio e momento all’incastro.
Risultato: All’incastro 
kN e 
kNm.
Soluzione
Per sovrapposizione degli effetti. Il carico uniforme dà all’incastro un taglio 
kN e un momento 
kNm; il carico concentrato 
kN e 
kNm. In totale: kN e kNm. Il diagramma del taglio è un trapezio (da 5 kN all’estremo a 17 kN all’incastro), quello del momento una curva che parte con pendenza 5 kN all’estremo e diventa sempre più ripida.
Livello esame
Esercizio 5. Trave con sbalzo
Una trave poggia in (
) e in (
m) e prosegue a sbalzo fino a 
(
m), dove porta un carico di 10 kN. Reazioni e diagrammi.
Risultato: 
kN, 
kN (verso il basso); momento minimo 
kNm sull’appoggio .
Soluzione
Momenti rispetto ad : 
, quindi kN. Verticale: 
kN. Il segno meno significa che l’appoggio deve tirare verso il basso: la trave tende a sollevarsi, e il vincolo deve essere un ancoraggio, non un semplice appoggio.
Taglio: −5 kN da a , poi +10 kN da a (salto di 15 kN in ). Momento con la regola delle aree: da a scende linearmente da 0 a 
kNm; da a risale di kNm e torna a zero all’estremo libero. Il momento è negativo ovunque: le fibre tese sono quelle superiori, e lì andrà messa l’armatura di una trave in cemento armato.
Esercizio 6. Carico uniforme su metà luce
Trave appoggiata di 4 m con un carico di 6 kN/m solo sulla metà sinistra. Dove si trova il momento massimo e quanto vale?
Risultato: 
kNm a 1,5 m dall’appoggio sinistro.
Soluzione
La risultante del carico è 
kN, applicata a 1 m da . Reazioni: 
kN, 
kN.
Nel tratto caricato 
, che si annulla per 
m: lì il momento è massimo. Per la regola delle aree è l’area del triangolo del taglio tra 0 e 1,5 m: 
kNm.
Controllo: in 
m, 
kNm; nel tratto scarico il taglio vale −3 kN e il momento scende di 
kNm fino a zero in . Il massimo non è in mezzeria, ma spostato verso il carico.
