Statica delle strutture: vincoli, isostaticità e reazioni

La scienza delle costruzioni studia come le strutture portano i carichi: quali forze nascono negli appoggi e dentro gli elementi, come si deformano, quando si rompono. Anche per un ingegnere elettronico serve: un traliccio per antenne, un quadro elettrico appeso a una parete, un circuito stampato che si flette, un supporto per pannelli fotovoltaici sono strutture. In questa lezione vediamo il corpo rigido nel piano, i vincoli, il conteggio dei gradi di libertà con la condizione di isostaticità, e il calcolo delle reazioni vincolari con un esempio.

Il corpo rigido nel piano

Un corpo rigido nel piano ha tre gradi di libertà: due traslazioni e una rotazione. È in equilibrio se la risultante delle forze e il momento risultante rispetto a un punto qualunque sono nulli (lezione sulla statica di Fisica 1):

Tre equazioni per un corpo: le forze incognite che si possono determinare con la sola statica sono al più tre.

I vincoli

Un vincolo impedisce alcuni spostamenti e, per farlo, esercita una reazione:

• il carrello (appoggio scorrevole) impedisce lo spostamento perpendicolare al piano di scorrimento: una reazione, la forza normale;
• la cerniera impedisce le due traslazioni ma lascia ruotare: due reazioni, le componenti della forza;
• l’incastro impedisce traslazioni e rotazione: tre reazioni, due forze e un momento;
• la cerniera interna collega due corpi lasciandoli ruotare l’uno rispetto all’altro: due reazioni mutue.

Isostatico, iperstatico, labile

Per una struttura di corpi rigidi con vincoli che tolgono in tutto gradi di libertà si definisce

Teorema. Condizione necessaria perché le reazioni di una struttura siano determinate univocamente dalle equazioni di equilibrio, per qualunque carico, è . Se la struttura è labile (può muoversi); se è iperstatica, con grado di iperstaticità .

Dimostrazione. Le equazioni di equilibrio sono , tre per corpo, lineari nelle reazioni incognite. Se il sistema ha più equazioni che incognite e, per un carico generico, nessuna soluzione: non c’è equilibrio, la struttura si muove. Se le soluzioni, quando esistono, sono infinite: la statica da sola non basta, e servono le condizioni di congruenza delle deformazioni (lezione sulla linea elastica). Solo con il sistema è quadrato e può avere soluzione unica per ogni carico. ∎

La condizione non è sufficiente: i vincoli devono essere anche efficaci. Una trave appoggiata su tre carrelli tutti verticali ha , ma nessuno impedisce lo scorrimento orizzontale: il sistema è quadrato ma singolare, e la struttura è labile.

Le reazioni vincolari

Esempio. Trave di luce m, cerniera in A, carrello in B, carico kN a m da A. Un corpo, tre gradi di vincolo: , isostatica. Equilibrio dei momenti rispetto ad A: , quindi kN. Equilibrio verticale: kN. Equilibrio orizzontale: la componente orizzontale della cerniera è nulla. In generale e : l’appoggio più vicino al carico porta di più, come una leva.

Scegliere il polo dei momenti in un punto dove passano reazioni incognite elimina queste dall’equazione: è il trucco che rende rapidi i calcoli. Le strutture isostatiche hanno un vantaggio pratico: un cedimento di un appoggio o una dilatazione termica non producono sforzi, perché la struttura può adattarsi. Le iperstatiche sono più rigide e hanno “riserve” (se un vincolo cede, gli altri possono ancora portare il carico), ma subiscono sforzi da cedimenti e variazioni di temperatura.

Le travature reticolari

Una travatura reticolare (un traliccio, il braccio di una gru, il tetto di un capannone) è fatta di aste collegate da cerniere nei nodi, con i carichi applicati ai nodi: ogni asta porta solo una forza assiale, di trazione o di compressione. Con aste, reazioni e nodi, ogni nodo dà due equazioni di equilibrio, e la travatura è staticamente determinata se . Le forze si trovano con l’equilibrio dei nodi uno alla volta, o con il metodo delle sezioni di Ritter: si taglia la travatura in due e si scrive l’equilibrio di una parte, scegliendo il polo dei momenti nell’intersezione di due aste tagliate per trovare direttamente la forza nella terza.