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Scienza delle Costruzioni

Elasticità, legge di Hooke e criteri di resistenza

Deformazioni, modulo di Young e coefficiente di Poisson, G = E/(2(1+ν)) dimostrato, curva tensione-deformazione dell'acciaio, criteri di Tresca e von Mises con esempio.

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Un materiale sollecitato si deforma; finché la tensione resta sotto un limite, togliendo il carico torna com’era: è il comportamento elastico. Oltre, si deforma in modo permanente e infine si rompe. In questa lezione vediamo le deformazioni, la legge di Hooke con il modulo di Young e il coefficiente di Poisson, la dimostrazione del legame tra modulo di taglio e modulo di Young con un esempio, la curva tensione-deformazione dell’acciaio, e i criteri di resistenza per gli stati di tensione composti con un esempio.

Le deformazioni

La deformazione misura il cambiamento di forma: la dilatazione \varepsilon è l’allungamento relativo di un segmento, lo scorrimento \gamma la variazione dell’angolo, inizialmente retto, tra due segmenti. Come le tensioni, le deformazioni in un punto formano un tensore simmetrico. Sono numeri piccolissimi: un acciaio da costruzione allo snervamento si allunga di circa lo 0,1 %.

La legge di Hooke

Per un materiale elastico lineare e isotropo, in trazione semplice:

    \[ \sigma = E\,\varepsilon,\qquad \varepsilon_{trasv} = -\nu\,\varepsilon \]

dove E è il modulo di Young e \nu il coefficiente di Poisson: una barra tirata si allunga e si assottiglia. Valori tipici: acciaio E = 210 GPa, \nu = 0{,}3; alluminio 70 GPa, 0,33; calcestruzzo 30 GPa, 0,2; legno lungo le fibre circa 11 GPa. Per uno stato di tensione generale le deformazioni si sommano per sovrapposizione:

    \[ \varepsilon_x = \frac{1}{E}\big[\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)\big],\qquad \gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G} \]

con G il modulo di taglio.

Teorema. Per un materiale isotropo

    \[ G = \frac{E}{2(1 + \nu)} \]

Dimostrazione. Si consideri uno stato di taglio puro: \tau_{xy} = \tau, \sigma_x = \sigma_y = 0. Il cerchio di Mohr (lezione sulle tensioni) ha centro nell’origine e raggio \tau: le tensioni principali, a 45°, valgono \sigma_1 = \tau e \sigma_2 = -\tau. Lungo la direzione 1 la legge di Hooke dà \varepsilon_1 = (\tau + \nu\tau)/E = \tau(1 + \nu)/E. Ma la stessa deformazione, vista negli assi x, y, è uno scorrimento; il cerchio di Mohr delle deformazioni, analogo a quello delle tensioni con \gamma/2 al posto di \tau, dà per il taglio puro \varepsilon_1 = \gamma/2. Quindi \gamma = 2\tau(1 + \nu)/E, e G = \tau/\gamma = E/(2(1 + \nu)). ∎

Esempio. Acciaio: G = 210/(2\cdot 1{,}3) \approx 81 GPa. Le costanti elastiche indipendenti di un materiale isotropo sono quindi due, non tre.

La curva tensione-deformazione

Curva tensione-deformazione di un acciaio da costruzione
Un primo tratto rettilineo con pendenza E (campo elastico) fino alla tensione di snervamento f y; un tratto orizzontale in cui l’acciaio si deforma a tensione costante; l’incrudimento fino alla resistenza a trazione f t; infine la strizione e la rottura.

La prova di trazione di un acciaio dolce mostra un tratto elastico lineare, lo snervamento a f_y (235, 275 o 355 MPa per gli acciai S235, S275, S355), un lungo tratto plastico in cui il materiale si allunga a tensione quasi costante, l’incrudimento fino alla resistenza f_t, e la rottura dopo allungamenti del 20 % e oltre. Questa duttilità è preziosa: una struttura in acciaio si deforma vistosamente prima di crollare, avvisando e ridistribuendo i carichi (lezione sull’acciaio di Tecnica delle costruzioni). I materiali fragili (vetro, ghisa, calcestruzzo in trazione, ceramiche, il silicio dei chip) si rompono invece senza preavviso, appena oltre il tratto elastico.

I criteri di resistenza

La prova di trazione dà un solo numero; in una struttura reale lo stato di tensione è composto. Un criterio di resistenza definisce una tensione equivalente da confrontare con quella della prova monoassiale. Per i materiali duttili:

  • Tresca (massima tensione tangenziale): \sigma_{eq} = \sigma_1 - \sigma_3;
  • von Mises (energia di distorsione): \sigma_{eq} = \sqrt{\frac{1}{2}\big[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2\big]}.

In una trave, con una tensione normale \sigma e una tangenziale \tau, il criterio di von Mises si riduce a \sigma_{eq} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}, quello di Tresca a \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2}.

Esempio. In un punto di una trave d’acciaio S235, \sigma = 150 MPa e \tau = 60 MPa. Von Mises: \sqrt{22\,500 + 10\,800} \approx 183 MPa < 235 MPa, verificato; Tresca, più prudente: \sqrt{22\,500 + 14\,400} \approx 192 MPa. Per i materiali fragili si usano criteri sulla massima tensione principale di trazione.

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