Azioni interne: sforzo normale, taglio e momento flettente
Definizione delle azioni interne, relazioni tra carico, taglio e momento dimostrate, diagrammi della trave appoggiata e momento massimo qL²/8 dimostrato con esempio, casi notevoli.
Le reazioni dicono quanto porta ciascun appoggio; per progettare una trave bisogna sapere quanto è sollecitata ogni sua sezione. Tagliando idealmente la trave in un punto, le due parti si scambiano forze interne: lo sforzo normale, il taglio e il momento flettente. In questa lezione vediamo le azioni interne, le relazioni differenziali tra carico, taglio e momento con la dimostrazione, i diagrammi di una trave appoggiata con carico uniforme e il calcolo del momento massimo con un esempio.
Le azioni interne
Si taglia la trave nella sezione di ascissa 
. Perché ciascuna delle due parti resti in equilibrio, sulla faccia del taglio deve agire una forza e un momento, uguali e opposti sulle due facce:
- lo sforzo normale
, lungo l’asse della trave (trazione o compressione); - il taglio
, perpendicolare all’asse; - il momento flettente
, che tende a inflettere la trave.
Si calcolano scrivendo l’equilibrio di una delle due parti, con le sue reazioni e i suoi carichi. Per convenzione il momento è positivo quando tende le fibre inferiori.
Le relazioni differenziali
Teorema. In un tratto di trave soggetto a un carico distribuito 
(positivo verso il basso):
![\[ \frac{dV}{dx} = -q(x),\qquad \frac{dM}{dx} = V(x) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-344a3a82333f5a3c37bcd73a485eae9c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Si isola un tratto di lunghezza 
. Sulla faccia sinistra agiscono e , sulla destra 
e 
, e nel mezzo il carico 
. L’equilibrio verticale dà 
, cioè 
. L’equilibrio dei momenti rispetto alla faccia destra dà 
; trascurando il termine di secondo ordine 
, 
. ∎
Le conseguenze pratiche sono immediate:
- dove non c’è carico distribuito, il taglio è costante e il momento lineare;
- con un carico uniforme, il taglio è lineare e il momento parabolico;
- il momento ha un massimo dove il taglio si annulla, come ogni funzione dove la derivata è zero;
- un carico concentrato produce un salto nel diagramma del taglio e un punto angoloso in quello del momento.
La trave appoggiata con carico uniforme
Teorema. Per una trave appoggiata di luce 
con carico uniforme 
, il momento massimo è in mezzeria e vale
![\[ M_{max} = \frac{qL^2}{8} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3df768f377f4762ef1d54144234eed4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Per simmetria le reazioni sono 
. In una sezione a distanza dall’appoggio sinistro, l’equilibrio della parte sinistra dà 
e 
. Il taglio si annulla per 
, e lì 
. ∎
Esempio. Una trave di 6 m porta un solaio che le trasmette 10 kN/m. Le reazioni sono di 30 kN, il taglio massimo 30 kN agli appoggi, il momento massimo 
kNm in mezzeria. Raddoppiare la luce quadruplica il momento: per questo le luci grandi richiedono travi molto più alte (lezione sulla flessione).
Altri casi notevoli
| Schema | Momento massimo |
|---|---|
Appoggiata, carico concentrato  in mezzeria |  |
| Appoggiata, carico uniforme |  |
| Mensola (incastro a un estremo), carico all’estremo libero |  all’incastro |
| Mensola, carico uniforme |  all’incastro |
| Incastrata ai due estremi, carico uniforme |  agli incastri,  in mezzeria |
L’ultimo caso è iperstatico (lezione sulla linea elastica): gli incastri riducono il momento massimo da a , ridistribuendolo tra appoggi e campata. Per carichi combinati, nelle strutture lineari elastiche vale la sovrapposizione degli effetti: le azioni interne dovute a più carichi sono la somma di quelle dovute a ciascuno.
