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Fisica 1

Dinamica del corpo rigido: momento di una forza, momento d’inerzia e rotolamento

Momento di una forza e braccio, la dimostrazione di τ = Iα, momenti d'inerzia e teorema di Steiner, energia di rotazione, momento angolare, rotolamento senza strisciamento ed equilibrio.

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Finora abbiamo trattato i corpi come punti. Una ruota, un’elica o il rotore di un motore però girano, e per descriverli serve un nuovo set di grandezze: momento della forza, momento d’inerzia, momento angolare. La buona notizia è che ognuna corrisponde a una grandezza già nota del moto rettilineo, e le equazioni hanno la stessa forma.

Il corpo rigido e la cinematica della rotazione

Un corpo rigido è un sistema in cui le distanze tra i punti non cambiano. In una rotazione attorno a un asse fisso tutti i punti girano con la stessa velocità angolare \omega e la stessa accelerazione angolare \alpha = d\omega/dt; un punto a distanza r dall’asse ha velocità v = \omega r. Le leggi del moto rotatorio uniformemente accelerato sono identiche a quelle del moto rettilineo: \omega = \omega_0 + \alpha t, \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac12\alpha t^2.

Il momento di una forza

La stessa forza fa ruotare una porta molto di più se la applichi lontano dai cardini. L’effetto rotatorio di una forza si misura con il momento rispetto a un polo O:

    \[ \vec\tau = \vec r\times\vec F,\qquad \tau = r\,F\sin\varphi = b\,F \]

Momento di una forza: vettore posizione, forza e braccio
Il momento dipende solo dalla componente della forza perpendicolare a \vec r. Equivalente: è la forza per il braccio b, la distanza del polo O dalla retta d’azione della forza.

Il braccio b = r\sin\varphi è la distanza tra il polo e la retta d’azione della forza. Una forza diretta verso il polo ha braccio zero e non fa ruotare nulla. L’unità è il newton per metro (N·m), la stessa del joule, ma è un’altra grandezza: per questo non si scrive mai in joule.

Il momento d’inerzia e l’equazione della rotazione

Dimostrazione: \tau = I\alpha

Dividiamo il corpo in tanti elementi di massa m_i a distanza r_i dall’asse. Ogni elemento si muove su una circonferenza con accelerazione tangenziale a_i = r_i\,\alpha. Per il secondo principio la componente tangenziale della forza su di esso è F_i = m_i r_i\alpha, e il suo momento rispetto all’asse è \tau_i = r_i F_i = m_i r_i^2\alpha. Sommando su tutti gli elementi, i momenti delle forze interne si annullano a coppie (azione e reazione sulla stessa retta), e resta:

    \[ \tau_{est} = \Big(\sum_i m_i\,r_i^2\Big)\,\alpha = I\,\alpha \]

La grandezza I = \sum m_i r_i^2 (o \int r^2\,dm per un corpo continuo) è il momento d’inerzia: fa nella rotazione il ruolo della massa. Dipende non solo da quanta massa c’è, ma da quanto è lontana dall’asse.

Corpo (asse per il centro)Momento d’inerzia
anello o cilindro cavo sottileM R^2
disco o cilindro pieno\tfrac12 M R^2
sfera piena\tfrac25 M R^2
sfera cava sottile\tfrac23 M R^2
asta sottile di lunghezza L\tfrac{1}{12} M L^2

Il teorema di Steiner (assi paralleli)

Se conosci I_{cm} rispetto a un asse per il centro di massa, rispetto a un asse parallelo a distanza d vale

    \[ I = I_{cm} + M\,d^2 \]

Dimostrazione. Prendiamo l’origine nel centro di massa e l’asse spostato in (d, 0). Per ogni elemento r_i'^2 = (x_i - d)^2 + y_i^2 = x_i^2 + y_i^2 - 2d\,x_i + d^2. Sommando con i pesi m_i: il primo termine dà I_{cm}, l’ultimo Md^2, e il termine centrale -2d\sum m_i x_i è zero perché \sum m_i x_i = M\,x_{cm} = 0. Per esempio, un’asta che ruota attorno a un’estremità ha I = \tfrac1{12}ML^2 + M(L/2)^2 = \tfrac13 ML^2.

Energia cinetica di rotazione

Ogni elemento ha energia \tfrac12 m_i v_i^2 = \tfrac12 m_i r_i^2\omega^2. Sommando:

    \[ K_{rot} = \tfrac12\,I\,\omega^2 \]

Un volano immagazzina energia proprio così. Un disco d’acciaio di 100 kg e raggio 0,3 m a 6000 giri/min (628 rad/s) ha I = 4{,}5\ \text{kg·m}^2 e K = \tfrac12\cdot 4{,}5\cdot 628^2 \approx 0{,}89 MJ, circa 0,25 kWh.

Momento angolare

Per un punto materiale il momento angolare è \vec L = \vec r\times\vec p. Per un corpo rigido che ruota attorno a un asse di simmetria vale L = I\,\omega. Derivando si ottiene l’equivalente rotatorio di \vec F = d\vec p/dt:

    \[ \vec\tau_{est} = \frac{d\vec L}{dt} \]

Se il momento delle forze esterne è nullo, il momento angolare si conserva. La pattinatrice che chiude le braccia riduce I e, poiché I\omega resta costante, gira più veloce. Una stella di neutroni, il nucleo collassato di una stella, ruota centinaia di volte al secondo per lo stesso motivo.

TraslazioneRotazione
posizione xangolo \theta
velocità vvelocità angolare \omega
massa mmomento d’inerzia I
forza Fmomento \tau
F = m\,a\tau = I\,\alpha
K = \tfrac12 m v^2K = \tfrac12 I\omega^2
p = m\,vL = I\,\omega

Rotolamento senza strisciamento

Una ruota che rotola senza strisciare ha il punto di contatto fermo rispetto al suolo, istante per istante. Da qui il vincolo

    \[ v_{cm} = \omega\,R \]

Ruota che rotola senza strisciare: punto di contatto fermo, centro a v, sommità a 2v
Il moto è la somma di una traslazione con velocità v_{cm} e di una rotazione attorno al centro. Nel punto di contatto P le due velocità si annullano; in cima si sommano, 2v_{cm}.

L’energia cinetica totale è quella del centro di massa più quella di rotazione: K = \tfrac12 M v_{cm}^2 + \tfrac12 I_{cm}\omega^2.

Dimostrazione: chi arriva prima in fondo al piano inclinato?

Un corpo di massa M, raggio R e momento d’inerzia I rotola giù da un’altezza h partendo da fermo. L’attrito statico nel punto di contatto non compie lavoro (il punto è fermo), quindi l’energia meccanica si conserva:

    \[ M g h = \tfrac12 M v^2 + \tfrac12 I\frac{v^2}{R^2} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + I/(MR^2)}} \]

Più la massa è concentrata lontano dall’asse, più energia finisce in rotazione e più il corpo è lento. Con I/(MR^2) uguale a 2/5 per la sfera piena, 1/2 per il cilindro pieno e 1 per l’anello, in una gara sullo stesso piano arriva prima la sfera, poi il cilindro, ultimo l’anello. Non contano né la massa né il raggio, solo la forma.

Equilibrio del corpo rigido

Un corpo rigido è in equilibrio se sono nulle sia la somma delle forze sia la somma dei momenti rispetto a un polo qualsiasi:

    \[ \sum\vec F = 0,\qquad \sum\vec\tau = 0 \]

Esempio. Una trave di 4 m e 50 kg è appoggiata ai due estremi e porta una massa di 100 kg a 1 m dall’appoggio A. Momenti rispetto ad A: R_B\cdot 4 = 50 g\cdot 2 + 100 g\cdot 1, quindi R_B = 50 g ≈ 490 N. Somma delle forze verticali: R_A = 150 g - 50 g = 100 g ≈ 981 N. Scegliere il polo su una forza sconosciuta la fa sparire dall’equazione: è il trucco che rende questi problemi veloci.

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