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Fisica 1

Quantità di moto, centro di massa e urti

Impulso e quantità di moto, centro di massa e suo moto, conservazione della quantità di moto, urti elastici e anelastici in una dimensione, pendolo balistico ed equazione del razzo.

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Quando due corpi si urtano, le forze in gioco sono enormi e durano pochi millesimi di secondo: impossibile conoscerle istante per istante. Eppure il risultato dell’urto si calcola con facilità, grazie a una grandezza che in un sistema isolato non cambia mai: la quantità di moto. In questa lezione la definiamo, introduciamo il centro di massa e risolviamo gli urti in una dimensione.

Quantità di moto e impulso

La quantità di moto di un corpo è il prodotto della massa per la velocità:

    \[ \vec p = m\,\vec v \]

Newton stesso scrisse il secondo principio in questa forma, più generale di \vec F = m\vec a perché vale anche quando la massa cambia:

    \[ \vec F = \frac{d\vec p}{dt} \]

Integrando nel tempo si ottiene il teorema dell’impulso: l’impulso di una forza, cioè il suo integrale nel tempo, è uguale alla variazione della quantità di moto.

    \[ \vec J = \int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt = \Delta\vec p \]

È il motivo per cui gli airbag e i caschi funzionano. La variazione di quantità di moto in un incidente è fissata (da mv a zero); allungando il tempo di arresto da 5 a 50 millisecondi, la forza media F = \Delta p/\Delta t diventa dieci volte più piccola.

Sistemi di particelle e centro di massa

Per un sistema di N corpi si definisce il centro di massa:

    \[ \vec r_{cm} = \frac{\sum_i m_i\,\vec r_i}{\sum_i m_i} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vec r_i \]

È una media delle posizioni pesata con le masse. Derivando, la quantità di moto totale del sistema è \vec P = \sum m_i\vec v_i = M\,\vec v_{cm}.

Dimostrazione: il moto del centro di massa

Su ogni corpo agiscono forze esterne al sistema e forze interne, esercitate dagli altri corpi del sistema. Sommando la legge d\vec p_i/dt = \vec F_i su tutti i corpi:

    \[ \frac{d\vec P}{dt} = \sum_i\vec F_i^{\,est} + \sum_i\sum_{j\ne i}\vec F_{ij} \]

dove \vec F_{ij} è la forza del corpo j sul corpo i. Per il terzo principio \vec F_{ij} = -\vec F_{ji}: nella doppia somma le forze interne si annullano a coppie. Resta

    \[ \frac{d\vec P}{dt} = M\,\vec a_{cm} = \vec F^{\,est} \]

Il centro di massa si muove come un unico punto materiale con tutta la massa del sistema, sottoposto solo alle forze esterne. Un fuoco d’artificio che esplode in volo: i frammenti volano in tutte le direzioni, ma il loro centro di massa continua sulla stessa parabola.

Conservazione della quantità di moto

Se la risultante delle forze esterne è nulla (sistema isolato), allora d\vec P/dt = 0:

    \[ \vec P = \sum_i m_i\,\vec v_i = \text{costante} \]

Il principio vale anche quando le forze interne sono enormi e sconosciute, ed è più generale della conservazione dell’energia meccanica, che negli urti spesso non vale. Durante un urto breve si può applicare anche se ci sono forze esterne come il peso, perché il loro impulso in pochi millisecondi è trascurabile rispetto a quello delle forze d’urto.

Urti in una dimensione

In ogni urto tra corpi isolati si conserva la quantità di moto. Si distinguono:

  • urto elastico: si conserva anche l’energia cinetica (biglie d’acciaio, molecole di un gas);
  • urto anelastico: parte dell’energia cinetica diventa deformazione e calore;
  • urto completamente anelastico: i corpi restano attaccati e proseguono insieme.
Urto elastico in una dimensione: la massa m1 colpisce la massa m2 ferma
Prima dell’urto (t_1) la massa m_1 si muove con v_1 verso m_2 ferma; dopo l’urto (t_2), se m_1 \lt m_2, m_1 torna indietro e m_2 parte in avanti.

Dimostrazione: velocità dopo un urto elastico

Sia m_2 inizialmente ferma. Conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica:

    \[ m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \]

    \[ \tfrac12 m_1 v_1^2 = \tfrac12 m_1 v_1'^2 + \tfrac12 m_2 v_2'^2 \]

Riscriviamo le due equazioni raccogliendo i termini di m_1:

    \[ m_1(v_1 - v_1') = m_2 v_2',\qquad m_1(v_1 - v_1')(v_1 + v_1') = m_2 v_2'^2 \]

Dividendo la seconda per la prima (con v_1' \ne v_1, altrimenti non c’è urto) si ottiene v_1 + v_1' = v_2': in un urto elastico la velocità relativa si inverte. Sostituendo nella prima equazione:

    \[ v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1,\qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 \]

Tre casi da ricordare:

  • masse uguali: v_1' = 0, v_2' = v_1. Le velocità si scambiano, come nel pendolo di Newton o nel biliardo con un colpo centrato;
  • m_1 \ll m_2 (pallina contro un muro): v_1' \approx -v_1, la pallina rimbalza con la stessa velocità;
  • m_1 \gg m_2 (camion contro pallina): v_2' \approx 2v_1, la pallina parte al doppio della velocità del camion.

Urto completamente anelastico

I due corpi proseguono con la stessa velocità V. Dalla sola quantità di moto, con m_2 ferma:

    \[ V = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 \]

L’energia cinetica persa è la frazione m_2/(m_1 + m_2) di quella iniziale: è massima quando il bersaglio è molto più pesante del proiettile.

Esempio: il pendolo balistico. Un proiettile di 10 g si conficca in un blocco di legno di 2 kg appeso a un filo, che sale di 5 cm. Dopo l’urto vale la conservazione dell’energia: V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}05} \approx 0{,}99 m/s. Durante l’urto vale la quantità di moto: v_1 = V\,(m_1 + m_2)/m_1 = 0{,}99\cdot 2{,}01/0{,}01 \approx 199 m/s. Attenzione a non usare la conservazione dell’energia attraverso l’urto: oltre il 99% dell’energia del proiettile diventa calore e deformazione.

Sistemi a massa variabile: il razzo

Un razzo espelle gas con velocità u rispetto a sé stesso. In un intervallo dt la sua massa cambia di dm \lt 0 e, per la conservazione della quantità di moto nello spazio vuoto, m\,dv = -u\,dm. Integrando dalla massa iniziale m_0 a quella finale m_f si ottiene l’equazione di Tsiolkovsky:

    \[ \Delta v = u\,\ln\frac{m_0}{m_f} \]

Il logaritmo spiega perché i razzi sono quasi tutti carburante: per una variazione di velocità di 9 km/s, quella che serve per entrare in orbita bassa, con u = 3 km/s serve m_0/m_f = e^3 \approx 20. Il carico utile e la struttura sono solo il 5% della massa al decollo, ed è per questo che si usano razzi a più stadi.

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