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Fisica 1

Lavoro ed energia: teorema dell’energia cinetica e conservazione dell’energia meccanica

Lavoro di una forza costante e variabile, potenza, teorema dell'energia cinetica, forze conservative ed energia potenziale, conservazione dell'energia con il pendolo e il giro della morte, attrito.

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Con le leggi di Newton si può risolvere qualsiasi problema di meccanica, ma a volte la strada è lunga: bisogna conoscere le forze istante per istante e integrare. L’energia offre una scorciatoia potente. Invece di seguire il moto passo per passo, si confrontano lo stato iniziale e quello finale. In questa lezione definiamo lavoro, energia cinetica e potenziale, e dimostriamo il principio di conservazione dell’energia meccanica.

Il lavoro di una forza

Se una forza costante \vec F agisce su un corpo che si sposta di \vec s, il lavoro è

    \[ W = \vec F\cdot\vec s = F\,s\cos\varphi \]

Conta solo la componente della forza lungo lo spostamento. Una forza perpendicolare al moto non compie lavoro: la reazione normale su un corpo che scivola in piano, o la forza centripeta nel moto circolare. Il lavoro è negativo se la forza si oppone al moto, come l’attrito. L’unità è il joule, 1\ \text{J} = 1\ \text{N·m}.

Se la forza varia lungo il percorso, si divide il cammino in tratti infinitesimi e si somma:

    \[ W = \int_A^B \vec F\cdot d\vec s \]

Esempio: il lavoro della forza elastica

Una molla di costante k esercita F = -kx. Per allungarla da 0 a x bisogna applicare la forza opposta, +kx, e il lavoro fatto da noi è

    \[ W = \int_0^x k\,x'\,dx' = \tfrac12\,k\,x^2 \]

Nel grafico forza-allungamento è l’area del triangolo sotto la retta.

La potenza

La potenza è il lavoro fatto nell’unità di tempo, P = dW/dt. Poiché dW = \vec F\cdot d\vec s, si ha anche P = \vec F\cdot\vec v. L’unità è il watt. Un motore elettrico che solleva a 0,5 m/s un carico da 200 kg sviluppa P = mg\,v = 200\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5 \approx 980 W, senza contare le perdite.

Il teorema dell’energia cinetica

Si definisce energia cinetica di un corpo di massa m e velocità v:

    \[ K = \tfrac12\,m\,v^2 \]

Dimostrazione

Consideriamo il lavoro della forza risultante lungo un tratto di traiettoria. Usiamo il secondo principio nella forma F_t = m\,dv/dt (conta solo la componente tangente, quella normale non fa lavoro) e ds = v\,dt:

    \[ W = \int F_t\,ds = \int m\frac{dv}{dt}\,v\,dt = \int_{v_A}^{v_B} m\,v\,dv = \tfrac12 m v_B^2 - \tfrac12 m v_A^2 \]

Quindi il lavoro di tutte le forze applicate è uguale alla variazione di energia cinetica:

    \[ W_{tot} = \Delta K \]

Il teorema vale sempre, anche con l’attrito, purché si contino tutte le forze.

Forze conservative ed energia potenziale

Una forza è conservativa se il lavoro che compie tra due punti non dipende dal percorso, ma solo dai punti di partenza e di arrivo. Equivalente: il lavoro lungo un percorso chiuso è zero. Peso, forza elastica e gravità sono conservative; l’attrito no, perché su un percorso più lungo dissipa più energia.

Per una forza conservativa si può definire un’energia potenziale U tale che

    \[ W_{A\to B} = U(A) - U(B) = -\Delta U \]

  • peso: U = m\,g\,h, con h la quota rispetto a un livello scelto a piacere;
  • molla: U = \tfrac12\,k\,x^2, con x la deformazione;
  • gravità di un pianeta: U = -G\,M\,m/r (la vedremo nella lezione sulla gravitazione).

In una dimensione la forza si ricava dall’energia potenziale con una derivata, F = -dU/dx: la forza spinge sempre verso dove l’energia potenziale diminuisce. I punti di minimo di U sono posizioni di equilibrio stabile.

Conservazione dell’energia meccanica

Dimostrazione

Se sul corpo agiscono solo forze conservative, il lavoro totale è W = -\Delta U. Per il teorema dell’energia cinetica è anche W = \Delta K. Quindi \Delta K = -\Delta U, cioè \Delta K + \Delta U = 0:

    \[ E = K + U = \text{costante} \]

L’energia meccanica si trasforma da cinetica a potenziale e viceversa, ma la somma resta la stessa.

Pendolo nei punti estremi e nel punto più basso con le barre dell'energia cinetica e potenziale
Nel pendolo, in A e C l’energia è tutta potenziale (U, arancione) e il corpo è fermo; in B è tutta cinetica (K, blu). Il totale E resta uguale.

Esempio: velocità del pendolo nel punto più basso. Il corpo parte fermo da A, a un’altezza h sopra B. In A: K = 0, U = mgh. In B: U = 0, K = \tfrac12 m v^2. Uguagliando:

    \[ v_B = \sqrt{2\,g\,h} \]

È la stessa velocità che avrebbe cadendo in verticale dalla stessa altezza: la forma del percorso non conta, perché la tensione del filo è sempre perpendicolare al moto e non compie lavoro.

Esempio: il giro della morte

Un carrello scende senza attrito da un’altezza h e affronta un anello verticale di raggio R. Qual è l’altezza minima perché non si stacchi in cima?

In cima all’anello la forza verso il centro è mg + N e deve valere m v^2/R. Il carrello resta sul binario se N \ge 0, cioè se v^2 \ge g\,R. Con la conservazione dell’energia tra la partenza e la cima, che è a quota 2R:

    \[ m\,g\,h = m\,g\,2R + \tfrac12 m v^2 \ge 2mgR + \tfrac12 mgR \quad\Rightarrow\quad h \ge \tfrac52\,R \]

Un risultato che senza energia richiederebbe di risolvere un’equazione del moto lungo tutta la pista.

Quando c’è attrito

Se agiscono anche forze non conservative, il loro lavoro W_{nc} cambia l’energia meccanica:

    \[ W_{nc} = \Delta E = \Delta K + \Delta U \]

L’attrito fa W_{nc} \lt 0: l’energia meccanica diminuisce, ma non sparisce. Diventa energia interna, cioè calore, come capisci toccando i freni di una bici dopo una discesa. Considerando anche questa forma, l’energia totale si conserva sempre: è il primo principio della termodinamica, che vedremo più avanti.

Esempio. Un’auto di 1200 kg a 90 km/h (25 m/s) frena fino a fermarsi. Ai freni arrivano \tfrac12\cdot 1200\cdot 25^2 = 375 kJ di calore. Le auto elettriche recuperano una parte di questa energia usando il motore come generatore: è la frenata rigenerativa.

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