Gravitazione: la legge di Newton, le leggi di Keplero e le orbite
Gravitazione universale e valore di g, dimostrazione della seconda e della terza legge di Keplero, orbita geostazionaria, energia potenziale gravitazionale, velocità di fuga e GPS.
La stessa forza che fa cadere una mela tiene la Luna in orbita e porta i satelliti GPS a 20 000 km di quota. Newton fu il primo a capirlo, unificando la fisica della Terra e quella del cielo. In questa lezione ricaviamo il valore di 
, le leggi di Keplero, l’energia potenziale gravitazionale e la velocità di fuga.
La legge di gravitazione universale
Due masse 
e 
a distanza 
si attraggono con una forza diretta lungo la congiungente:
![\[ F = G\,\frac{m\,M}{r^2},\qquad G = 6{,}674\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8f5200879dba4ff741e1409849f2bb1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è piccolissima: due persone di 70 kg a un metro di distanza si attraggono con circa 
N. La gravità diventa importante solo quando almeno una delle masse è enorme. Per un corpo a simmetria sferica, come un pianeta, la forza all’esterno è la stessa che si avrebbe con tutta la massa concentrata nel centro (teorema del guscio, dimostrato da Newton).
Dimostrazione: da dove viene
Sulla superficie terrestre il peso 
è la forza di gravità della Terra, di massa 
e raggio 
:
![\[ m\,g = G\frac{m\,M_T}{R_T^2} \quad\Rightarrow\quad g = \frac{G\,M_T}{R_T^2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bca89a92ef4d133e2076542fc6573649_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con 
kg e 
m si ottiene 
m/s². La massa si semplifica: ecco perché tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione. A quota 
l’accelerazione diventa 
: sulla Stazione Spaziale, a 400 km, vale ancora circa 8,7 m/s². Gli astronauti fluttuano non perché la gravità manchi, ma perché cadono insieme alla stazione.
Le tre leggi di Keplero
Keplero le ricavò all’inizio del Seicento dalle osservazioni di Tycho Brahe, senza conoscerne la causa. Newton le dimostrò tutte a partire dalla sua legge.
- Le orbite dei pianeti sono ellissi, con il Sole in uno dei fuochi.
- Il segmento che unisce il Sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.
- Il quadrato del periodo è proporzionale al cubo del semiasse maggiore:
.
) il pianeta deve quindi muoversi più velocemente che lontano (
).Dimostrazione della seconda legge
La forza gravitazionale è diretta verso il Sole, quindi è parallela a 
e il suo momento rispetto al Sole è 
. Il momento angolare 
si conserva. In un tempo 
il pianeta si sposta di 
e il raggio spazza un triangolo di area
![\[ dA = \tfrac12\,|\vec r\times\vec v\,dt| = \frac{L}{2m}\,dt \quad\Rightarrow\quad \frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{costante} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1221820c984c45b6fa4373a4220df50_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La seconda legge è quindi la conservazione del momento angolare: vale per qualsiasi forza centrale, non solo per la gravità.
Dimostrazione della terza legge (orbita circolare)
Per un’orbita circolare di raggio la gravità fornisce la forza centripeta:
![\[ G\frac{m\,M}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c03f80d4f06400a0421740db7520aa48_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il periodo è la circonferenza divisa per la velocità, 
. Elevando al quadrato:
![\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba4e0d6829b172a5f1f0b1f12428fe08_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per le ellissi vale lo stesso risultato con il semiasse maggiore 
al posto di . La costante dipende solo dalla massa del corpo centrale: misurando il periodo e il raggio dell’orbita di una luna si può “pesare” il suo pianeta.
Esempio: l’orbita geostazionaria. Un satellite che gira in 24 ore (più precisamente in un giorno sidereo, 86 164 s) resta fermo sopra lo stesso punto dell’equatore. Dalla terza legge:
![\[ r = \left(\frac{G M_T\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 42\,164\ \text{km} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55375eea8f99b80a0e18bf75e2c7523c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
cioè circa 35 786 km sopra la superficie. È l’orbita dei satelliti televisivi: per questo le parabole restano puntate sempre nello stesso punto del cielo.
Energia potenziale gravitazionale
Lontano dalla superficie 
non basta più, perché la forza cambia con la distanza. Prendiamo 
a distanza infinita e calcoliamo il lavoro che la gravità compie quando una massa arriva dall’infinito fino a :
![\[ W = \int_\infty^r -\frac{G M m}{r'^2}\,dr' = \frac{G M m}{r} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1bce3396f667f90b4b875220cbad68e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Poiché 
:
![\[ U(r) = -\frac{G\,M\,m}{r} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7dfeb5485d24691750860c4abf1e67fb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il segno meno indica uno stato legato: bisogna fornire energia per allontanare la massa. Per piccoli spostamenti vicino alla superficie, sviluppando in serie si ritrova 
.
Velocità di fuga ed energia delle orbite
La velocità di fuga è la velocità minima per allontanarsi per sempre da un pianeta, cioè per arrivare all’infinito con energia cinetica nulla. Con la conservazione dell’energia:
![\[ \tfrac12 m v_f^2 - \frac{G M m}{R} = 0 \quad\Rightarrow\quad v_f = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85ede8e67d019ff58bf6944e3c92d862_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per la Terra 
km/s, per la Luna 2,4 km/s: per questo la Luna non ha atmosfera, le molecole di gas sfuggono facilmente.
Per un’orbita circolare, usando 
, l’energia cinetica vale 
, cioè metà del valore assoluto dell’energia potenziale. L’energia totale è
![\[ E = K + U = -\frac{G M m}{2r} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b1056a4c28bff87b66b071dd2764304_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ne segue un risultato poco intuitivo: per salire a un’orbita più alta bisogna fornire energia, ma il satellite alla fine va più piano. Al contrario, l’attrito con l’alta atmosfera fa scendere i satelliti in orbita bassa e li fa accelerare.
Una nota per gli elettronici: il GPS
I satelliti GPS orbitano a circa 20 200 km di quota con periodo di mezza giornata siderea. I loro orologi atomici, per effetto della relatività, guadagnano circa 38 microsecondi al giorno rispetto a quelli a terra: 45 µs in più perché stanno più in alto nel campo gravitazionale, 7 µs in meno per la velocità. Moltiplicando per la velocità della luce, senza correzione l’errore crescerebbe di circa 11 km al giorno. Per questo la frequenza degli oscillatori di bordo è leggermente spostata già prima del lancio.
