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Fisica 1

Oscillazioni: moto armonico, pendolo, smorzamento e risonanza

Il sistema massa-molla e la sua soluzione, energia del moto armonico, pendolo semplice, oscillazioni smorzate e forzate, risonanza e l'analogia con il circuito RLC.

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Una massa attaccata a una molla, un pendolo, la corda di una chitarra, il quarzo di un orologio, un circuito LC: sistemi diversissimi che oscillano tutti seguendo la stessa equazione. Il moto armonico è forse il modello più utile della fisica, perché quasi ogni sistema vicino a un punto di equilibrio stabile si comporta così. In questa lezione lo ricaviamo, poi aggiungiamo lo smorzamento e la forzante, fino alla risonanza.

Il sistema massa-molla

Una massa m su un piano senza attrito è attaccata a una molla di costante k. Chiamiamo x lo spostamento dalla posizione di equilibrio, dove la molla non è né tesa né compressa.

Massa attaccata a una molla e grafico della posizione nel tempo
In alto: la massa spostata di x dall’equilibrio subisce la forza elastica F = -kx, che la richiama verso lo zero. In basso: la posizione oscilla come un coseno tra +A e -A, con periodo T.

Dimostrazione: l’equazione del moto e la sua soluzione

L’unica forza orizzontale è quella della molla, quindi m\,\ddot x = -k\,x, cioè

    \[ \ddot x + \omega^2 x = 0,\qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Cerchiamo una funzione la cui derivata seconda sia proporzionale a se stessa con il segno meno: seni e coseni. Proviamo x(t) = A\cos(\omega t + \varphi). Derivando due volte:

    \[ \dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi),\qquad \ddot x = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x \]

L’equazione è soddisfatta per qualsiasi A e \varphi, che si ricavano dalle condizioni iniziali (posizione e velocità al tempo zero). Poiché l’equazione è del secondo ordine, questa è la soluzione generale.

  • A è l’ampiezza, lo spostamento massimo;
  • \omega è la pulsazione (rad/s), e il periodo è T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k};
  • \varphi è la fase iniziale.

Il periodo non dipende dall’ampiezza: un’oscillazione grande e una piccola durano lo stesso tempo. È questa proprietà, l’isocronismo, che rende le oscillazioni adatte a misurare il tempo.

L’energia

Con x = A\cos(\omega t + \varphi) e \omega^2 = k/m:

    \[ E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2\sin^2(\omega t + \varphi) + \tfrac12 k A^2\cos^2(\omega t + \varphi) = \tfrac12\,k\,A^2 \]

L’energia passa continuamente da potenziale (agli estremi) a cinetica (al centro), ma il totale è costante e proporzionale al quadrato dell’ampiezza.

Il pendolo semplice

Una massa m appesa a un filo di lunghezza l è spostata di un angolo \theta. La componente del peso lungo la traiettoria è -mg\sin\theta e lo spostamento lungo l’arco è s = l\theta, quindi

    \[ m\,l\,\ddot\theta = -m\,g\sin\theta \]

Dimostrazione: l’approssimazione delle piccole oscillazioni

Per angoli piccoli \sin\theta \approx \theta (con \theta in radianti; a 10° l’errore è dello 0,5%). L’equazione diventa \ddot\theta + (g/l)\,\theta = 0, la stessa del sistema massa-molla con \omega^2 = g/l:

    \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

È la costante 2\pi che l’analisi dimensionale non poteva dare. Un pendolo lungo 1 m batte il secondo ogni mezzo periodo: T \approx 2{,}006 s. Per ampiezze grandi il periodo cresce leggermente: a 30° è più lungo di circa l’1,7%.

Oscillazioni smorzate

Nella realtà c’è sempre un attrito. Se è proporzionale alla velocità, F = -b\,\dot x (attrito viscoso, ammortizzatore), l’equazione diventa

    \[ \ddot x + 2\gamma\,\dot x + \omega_0^2\,x = 0,\qquad \gamma = \frac{b}{2m},\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Cercando soluzioni del tipo e^{\lambda t} si ottiene l’equazione caratteristica \lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0, con radici \lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}. Tre comportamenti:

  • sottosmorzato (\gamma \lt \omega_0): oscilla con ampiezza che decresce come e^{-\gamma t}, a pulsazione \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2};
  • smorzamento critico (\gamma = \omega_0): torna all’equilibrio nel tempo più breve possibile senza oscillare. È la taratura ideale per le sospensioni di un’auto e per l’ago di uno strumento di misura;
  • sovrasmorzato (\gamma \gt \omega_0): torna lentamente all’equilibrio, senza oscillare.

Oscillazioni forzate e risonanza

Se una forza esterna periodica F_0\cos(\omega t) spinge il sistema, dopo un transitorio questo oscilla alla frequenza della forzante, con ampiezza

    \[ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \]

Quando \omega si avvicina a \omega_0 il primo termine sotto radice si annulla e l’ampiezza diventa molto grande, tanto più quanto lo smorzamento è piccolo: è la risonanza. La spinta all’altalena data al momento giusto, il bicchiere che si rompe con una nota acuta, le vibrazioni di un ponte che entra in risonanza con il passo dei pedoni (successe al Millennium Bridge di Londra nel 2000). Il fattore di qualità Q = \omega_0/(2\gamma) misura quanto è stretto e alto il picco.

Lo stesso modello nei circuiti

Un circuito con induttanza L, resistenza R e condensatore C in serie obbedisce, per la carica q sul condensatore, all’equazione

    \[ L\,\ddot q + R\,\dot q + \frac{q}{C} = 0 \]

È identica a quella della massa smorzata con le corrispondenze m \to L, b \to R, k \to 1/C. Ne segue subito la frequenza di risonanza

    \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C}} \]

e tutto quello che abbiamo detto su smorzamento e risonanza vale per filtri, oscillatori e circuiti di sintonia di una radio. Il quarzo di un orologio è letteralmente un oscillatore meccanico: un cristallino che vibra a 32 768 Hz con un fattore di qualità di decine di migliaia, ed è per questo che sbaglia di pochi secondi al mese.

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