Esercizi di termodinamica svolti: trasformazioni, cicli, macchine ed entropia

Quattordici esercizi con soluzione e figura: gas ideale, calorimetria, isoterma, isobara, adiabatica, Carnot, pompa di calore, entropia, ciclo rettangolare, cicli Otto e Diesel, lavoro perduto, espansione libera, teoria cinetica.

ielettronica 25 ottobre 2026 9 min di lettura 0 commenti

Esercizi di termodinamica del tipo che si danno nei corsi di Fisica 1 e di Fisica tecnica, in tre livelli: base, con il gas ideale, la calorimetria e le trasformazioni semplici; medio, con adiabatiche, macchine di Carnot, pompe di calore, entropia e un ciclo completo; esame, con i cicli Otto e Diesel, l’entropia nei processi irreversibili e la teoria cinetica. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa, con la figura, si apre con un clic. Le dimostrazioni e la tabella delle trasformazioni sono nell’approfondimento collegato in cima.

Dati: $R = 8{,}314$ J/(mol·K); acqua $c = 4186$ J/(kg·K), calore latente di fusione del ghiaccio $L_f = 334$ kJ/kg; gas monoatomico $c_V = \frac{3}{2}R$ , biatomico (aria) $c_V = \frac{5}{2}R$ , $\gamma = 1{,}4$ .

Livello base

Esercizio 1. L’equazione di stato

2,0 mol di gas ideale a 300 K occupano 10 L. Qual è la pressione?

Risultato: $4{,}99\cdot 10^5$ Pa, circa 4,9 atm.

Soluzione

$p = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{2{,}0\cdot 8{,}314\cdot 300}{0{,}010} = 4{,}99\cdot 10^5$ Pa. Il volume va in m³ (10 L = 0,010 m³): è l’errore più comune.

In atmosfere, $4{,}99\cdot 10^5/101\,325 = 4{,}9$ atm. In alternativa, con $R = 0{,}082\,06$ L·atm/(mol·K) e il volume in litri: $p = 2\cdot 0{,}082\,06\cdot 300/10 = 4{,}9$ atm.

Il gas visto come molecole in moto — La pressione è l’effetto medio degli urti delle molecole contro le pareti del recipiente.

Esercizio 2. Mescolare acqua calda e fredda

Si mescolano 200 g d’acqua a 80 °C con 300 g a 20 °C, in un recipiente isolato. Trova la temperatura finale e la variazione di entropia totale.

Risultato: 44 °C; $\Delta S = +8{,}8$ J/K.

Soluzione

Il calore ceduto dall’acqua calda è uguale a quello ricevuto dalla fredda: $m_1c(T_1 - T_f) = m_2c(T_f - T_2)$ , quindi $T_f = \dfrac{m_1T_1 + m_2T_2}{m_1 + m_2} = \dfrac{0{,}2\cdot 80 + 0{,}3\cdot 20}{0{,}5} = 44$ °C.

Entropia, con le temperature in kelvin ( $T_f = 317{,}15$ K): acqua calda $0{,}2\cdot 4186\ln\frac{317{,}15}{353{,}15} = -90{,}0$ J/K; acqua fredda $0{,}3\cdot 4186\ln\frac{317{,}15}{293{,}15} = +98{,}8$ J/K. Totale $+8{,}8$ J/K: positiva, come deve essere in un processo irreversibile.

Le temperature dei due corpi che si avvicinano all'equilibrio — Il corpo caldo, in rosso, si raffredda e quello freddo, in blu, si scalda, finché entrambi raggiungono la temperatura finale comune.

Esercizio 3. Espansione isoterma

1,0 mol di gas ideale si espande reversibilmente a 300 K da 10 L a 20 L. Trova lavoro, calore, variazione di energia interna e di entropia.

Risultato: $W = Q = 1{,}73$ kJ; $\Delta U = 0$ ; $\Delta S = 5{,}76$ J/K.

Soluzione

Nell’isoterma $\Delta U = 0$ (l’energia interna del gas ideale dipende solo da $T$ ), quindi $Q = W$ .

$W = nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1} = 8{,}314\cdot 300\cdot\ln 2 = 1729$ J.

$\Delta S = \dfrac{Q}{T} = nR\ln 2 = 5{,}76$ J/K. Il gas ha preso calore e lo ha restituito tutto come lavoro: non è una violazione di Kelvin, perché la trasformazione non è un ciclo (il gas è cambiato, occupa un volume doppio).

Espansione isoterma nel piano pressione volume — Il gas passa dallo stato 1 allo stato 2 lungo l’iperbole p V costante; il lavoro è l’area rossa sotto la curva.

Esercizio 4. Riscaldamento a pressione costante

2,0 mol di gas monoatomico vengono scaldate a pressione costante da 300 K a 400 K. Trova calore, lavoro e variazione di energia interna.

Risultato: $Q = 4{,}16$ kJ; $W = 1{,}66$ kJ; $\Delta U = 2{,}49$ kJ.

Soluzione

$Q = nc_p\Delta T = 2\cdot\frac{5}{2}\cdot 8{,}314\cdot 100 = 4157$ J.

$W = p\Delta V = nR\Delta T = 2\cdot 8{,}314\cdot 100 = 1663$ J.

$\Delta U = nc_V\Delta T = 2\cdot\frac{3}{2}\cdot 8{,}314\cdot 100 = 2494$ J. Controllo con il primo principio: $Q - W = 4157 - 1663 = 2494$ J. Il 40 % del calore va in lavoro e il 60 % in energia interna, rapporto $R/c_p = 2/5$ .

Riscaldamento isobaro — Il gas passa dall’isoterma T1 all’isoterma T2 lungo un segmento orizzontale; il lavoro è l’area del rettangolo sotto il segmento.

Livello medio

Esercizio 5. La compressione adiabatica dell’aria

Aria a 1,0 atm e 300 K viene compressa adiabaticamente e reversibilmente a un decimo del volume. Trova temperatura e pressione finali e il lavoro fatto sul gas per mole.

Risultato: $T_2 = 754$ K; $p_2 = 25{,}1$ atm; 9,4 kJ/mol.

Soluzione

$TV^{\gamma - 1}$ costante: $T_2 = 300\cdot 10^{0{,}4} = 754$ K (481 °C). $pV^\gamma$ costante: $p_2 = 1{,}0\cdot 10^{1{,}4} = 25{,}1$ atm.

Lavoro sul gas: tutto va in energia interna, $W = c_V\Delta T = \frac{5}{2}\cdot 8{,}314\cdot 454 = 9{,}4$ kJ/mol.

Confronto: un’isoterma con lo stesso rapporto di volume avrebbe portato la pressione solo a 10 atm. È il principio del motore Diesel: l’aria compressa diventa abbastanza calda da accendere il gasolio senza scintilla.

Adiabatica e isoterma a confronto — Partendo dallo stesso stato 1, l’adiabatica in rosso sale più ripida dell’isoterma tratteggiata, perché durante la compressione il gas si scalda.

Esercizio 6. Una macchina di Carnot

Una macchina di Carnot lavora tra 500 K e 300 K e assorbe 1000 J per ciclo. Trova rendimento, lavoro, calore ceduto e variazione di entropia dell’universo in un ciclo.

Risultato: 40 %; 400 J; 600 J; 0.

Soluzione

$\eta = 1 - \dfrac{T_2}{T_1} = 1 - \dfrac{300}{500} = 0{,}40$ . $W = \eta Q_1 = 400$ J; $Q_2 = Q_1 - W = 600$ J.

Entropia: la sorgente calda perde $1000/500 = 2$ J/K, la fredda guadagna $600/300 = 2$ J/K, il gas torna allo stato iniziale. Totale zero: è la caratteristica di un ciclo reversibile. Una macchina reale tra le stesse sorgenti cederebbe più di 600 J, e l’entropia dell’universo crescerebbe.

Ciclo di Carnot nel piano temperatura entropia — Il lavoro è l’area del rettangolo, il calore ceduto l’area sotto l’isoterma bassa.

Esercizio 7. La pompa di calore

Una pompa di calore deve fornire 10 kW a una casa a 20 °C prendendo calore dall’aria esterna a 0 °C. Qual è la potenza elettrica minima necessaria? E quella reale, con un coefficiente di prestazione di 3,5?

Risultato: minima 0,68 kW (COP ideale 14,7); reale 2,86 kW.

Soluzione

Per una pompa di calore il coefficiente di prestazione è il calore fornito diviso il lavoro: $COP = Q_1/W$ . Il massimo, per una macchina reversibile, è $\dfrac{T_1}{T_1 - T_2} = \dfrac{293{,}15}{20} = 14{,}7$ .

Potenza minima: $10/14{,}7 = 0{,}68$ kW. Con COP reale 3,5: $10/3{,}5 = 2{,}86$ kW, contro i 10 kW di una stufa elettrica. La pompa di calore non “crea” energia: sposta calore dall’esterno freddo all’interno caldo, e il lavoro serve solo a farlo andare contro il suo verso naturale.

Schema di una pompa di calore — La macchina P prende il calore Q2 dalla sorgente fredda, riceve il lavoro W e cede alla sorgente calda il calore Q1, somma dei due.

Esercizio 8. L’entropia del ghiaccio che fonde

100 g di ghiaccio a 0 °C fondono lentamente in una stanza a 25 °C. Calcola la variazione di entropia del ghiaccio, della stanza e dell’universo (trascura il riscaldamento dell’acqua dopo la fusione).

Risultato: ghiaccio +122,3 J/K; stanza −112,0 J/K; universo +10,3 J/K.

Soluzione

Calore assorbito: $Q = mL_f = 0{,}1\cdot 334\,000 = 33{,}4$ kJ, a temperatura costante.

Ghiaccio: $\Delta S = Q/T = 33\,400/273{,}15 = +122{,}3$ J/K. Stanza (che resta praticamente a 298,15 K): $-33\,400/298{,}15 = -112{,}0$ J/K.

Universo: $+10{,}3$ J/K. Lo stesso calore pesa di più in entropia alla temperatura più bassa: per questo il calore va spontaneamente dal caldo al freddo.

Il calore passa dalla stanza al ghiaccio — La stanza a 298 K cede il calore Q al ghiaccio a 273 K: l’entropia della stanza diminuisce, quella del ghiaccio aumenta di più.

Esercizio 9. Un ciclo rettangolare

1 mol di gas monoatomico compie il ciclo A→B→C→D→A della figura, con A in $(p_0, V_0)$ , B in $(2p_0, V_0)$ , C in $(2p_0, 2V_0)$ , D in $(p_0, 2V_0)$ . Esprimi in funzione di $p_0V_0$ il lavoro, il calore assorbito e il rendimento, e confronta con una macchina di Carnot tra le temperature estreme.

Ciclo rettangolare nel piano pressione volume — Il ciclo è formato da due isocore e due isobare; le curve tratteggiate sono le isoterme T0, 2 T0 e 4 T0 che passano per i vertici.

Risultato: $W = p_0V_0$ ; $Q_{ass} = 6{,}5\,p_0V_0$ ; $\eta = 15{,}4$ %, contro il 75 % di Carnot.

Soluzione

Lavoro. È l’area del rettangolo: $(2p_0 - p_0)(2V_0 - V_0) = p_0V_0$ .

Temperature. Con $pV = RT$ : $T_A = T_0 = p_0V_0/R$ , $T_B = T_D = 2T_0$ , $T_C = 4T_0$ .

Calori. A→B isocora: $Q = c_V(T_B - T_A) = \frac{3}{2}R\,T_0 = 1{,}5\,p_0V_0$ (assorbito). B→C isobara: $Q = c_p(T_C - T_B) = \frac{5}{2}R\cdot 2T_0 = 5\,p_0V_0$ (assorbito). C→D e D→A cedono calore. Assorbito in tutto: $6{,}5\,p_0V_0$ .

Rendimento. $\eta = \dfrac{p_0V_0}{6{,}5\,p_0V_0} = 15{,}4$ %. Carnot tra $4T_0$ e $T_0$ : $1 - \frac{1}{4} = 75$ %. Il ciclo rettangolare scambia calore a temperature molto diverse da quelle estreme, e questo lo rende poco efficiente.

Errore tipico: dividere il lavoro per il calore netto (che è uguale al lavoro, e darebbe 100 %) invece che per il calore assorbito.

Livello esame

Esercizio 10. Il ciclo Otto

Un motore a benzina ideale ha rapporto di compressione 9. L’aria entra a 1 bar e 300 K, e dopo la combustione raggiunge 1800 K. Trova le temperature dei quattro vertici, il calore assorbito e ceduto e il lavoro per mole, e il rendimento.

Risultato: $T_2 = 722$ K, $T_4 = 747$ K; $Q_{in} = 22{,}4$ kJ/mol, $Q_{out} = 9{,}3$ kJ/mol, $W = 13{,}1$ kJ/mol; $\eta = 58{,}5$ %.

Soluzione

Compressione adiabatica 1→2: $T_2 = T_1r^{\gamma - 1} = 300\cdot 9^{0{,}4} = 722$ K.

Combustione isocora 2→3: $T_3 = 1800$ K (dato). $Q_{in} = c_V(T_3 - T_2) = 20{,}79\cdot 1078 = 22{,}4$ kJ/mol.

Espansione adiabatica 3→4: $T_4 = T_3/r^{\gamma - 1} = 1800/2{,}408 = 747$ K.

Scarico isocoro 4→1: $Q_{out} = c_V(T_4 - T_1) = 20{,}79\cdot 447 = 9{,}3$ kJ/mol.

$W = 22{,}4 - 9{,}3 = 13{,}1$ kJ/mol, $\eta = 13{,}1/22{,}4 = 58{,}5$ %, uguale a $1 - 9^{-0{,}4}$ (approfondimento). Carnot tra 1800 K e 300 K darebbe 83 %: il ciclo Otto assorbe calore a temperature tra 722 e 1800 K, non tutte alla massima.

Esercizio 11. Il ciclo Diesel

Un motore Diesel ideale ha rapporto di compressione 18 e rapporto di combustione 2. Calcola il rendimento e confrontalo con quello di un ciclo Otto con lo stesso rapporto di compressione.

Risultato: 63,2 %; l’Otto avrebbe 68,5 %.

Soluzione

Dalla formula dell’approfondimento:

$\eta = 1 - \frac{1}{18^{0{,}4}}\cdot\frac{2^{1{,}4} - 1}{1{,}4\cdot(2 - 1)} = 1 - \frac{1}{3{,}178}\cdot\frac{1{,}639}{1{,}4} = 1 - 0{,}315\cdot 1{,}171 = 0{,}632$

Otto con $r = 18$ : $1 - 18^{-0{,}4} = 68{,}5$ %. A parità di compressione l’Otto rende di più, ma un motore a benzina non può arrivare a 18 senza detonazione: in pratica lavora intorno a 10 (60 %), e il Diesel vince.

Ciclo Diesel — Il calore entra a pressione costante nel tratto orizzontale 2 3; il resto del ciclo è come nell’Otto.

Esercizio 12. Due blocchi a contatto e il lavoro perduto

Due blocchi di rame da 1,0 kg ( $c = 385$ J/(kg·K)), a 400 K e 300 K, vengono messi a contatto e isolati. Trova la temperatura finale e la variazione di entropia. Quanto lavoro si sarebbe potuto ottenere al massimo facendo lavorare una macchina reversibile tra i due blocchi fino all’equilibrio?

Risultato: 350 K; $\Delta S = +7{,}9$ J/K; lavoro massimo 2,76 kJ.

Soluzione

Contatto diretto. Masse e calori specifici uguali: $T_f = 350$ K. $\Delta S = mc\left(\ln\frac{350}{400} + \ln\frac{350}{300}\right) = 385\cdot 0{,}0206 = 7{,}9$ J/K.

Macchina reversibile. Ora l’entropia totale non cambia: $mc\ln\frac{T_f'}{400} + mc\ln\frac{T_f'}{300} = 0$ , quindi $T_f'^2 = 400\cdot 300$ e $T_f' = \sqrt{120\,000} = 346{,}4$ K, la media geometrica.

Il lavoro è il calore ceduto dal blocco caldo meno quello ricevuto dal freddo: $W = mc(400 - 346{,}4) - mc(346{,}4 - 300) = mc(700 - 692{,}8) = 385\cdot 7{,}2 = 2{,}76$ kJ.

Nel contatto diretto questo lavoro va perso: la temperatura finale è più alta (350 contro 346,4 K) perché l’energia che poteva diventare lavoro è rimasta come calore.

Due corpi che raggiungono l'equilibrio — Le temperature dei due blocchi convergono verso il valore finale comune.

Esercizio 13. L’espansione libera

1,0 mol di gas ideale a 300 K, in un recipiente isolato, si espande nel vuoto raddoppiando il volume. Trova $Q$ , $W$ , $\Delta U$ , $\Delta T$ e $\Delta S$ . Quanto lavoro si sarebbe potuto ottenere con un’espansione isoterma reversibile?

Risultato: $Q = W = \Delta U = \Delta T = 0$ ; $\Delta S = 5{,}76$ J/K; 1,73 kJ.

Soluzione

Il gas non spinge niente (il vuoto non ha pressione): $W = 0$ . Il recipiente è isolato: $Q = 0$ . Quindi $\Delta U = 0$ e, per un gas ideale, $\Delta T = 0$ .

L’entropia è una funzione di stato: si calcola su un percorso reversibile qualsiasi tra gli stessi stati, per esempio l’isoterma: $\Delta S = nR\ln 2 = 5{,}76$ J/K, anche se non è passato calore.

Lavoro perduto: un’isoterma reversibile avrebbe dato $nRT\ln 2 = T\Delta S = 1{,}73$ kJ. In generale l’energia “sprecata” da un processo irreversibile a temperatura $T$ è $T\Delta S_{universo}$ .

Espansione libera — Aperta la parete, il gas occupa tutto il recipiente senza lavoro e senza calore.

Esercizio 14. La velocità delle molecole

Calcola la velocità quadratica media delle molecole di azoto ( $M = 28$ g/mol) e di idrogeno ( $M = 2$ g/mol) a 300 K. Perché l’atmosfera terrestre ha perso quasi tutto l’idrogeno libero, pur essendo la velocità di fuga 11,2 km/s?

Risultato: azoto 517 m/s; idrogeno 1930 m/s.

Soluzione

$v_{qm} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$ : azoto $\sqrt{3\cdot 8{,}314\cdot 300/0{,}028} = 517$ m/s; idrogeno $\sqrt{3\cdot 8{,}314\cdot 300/0{,}002} = 1930$ m/s. A parità di temperatura le energie cinetiche medie sono uguali, quindi le velocità vanno come $1/\sqrt M$ .

Entrambe sono molto sotto la velocità di fuga, ma le velocità sono distribuite (distribuzione di Maxwell): una piccola frazione di molecole è molto più veloce della media. Nell’alta atmosfera, dove la temperatura arriva a 1000 K e oltre, la coda della distribuzione dell’idrogeno supera la velocità di fuga abbastanza spesso da svuotarla in tempi geologici; per l’azoto la frazione è trascurabile.

Distribuzione delle velocità di Maxwell a 300 K — La curva dell’idrogeno, in rosso, è molto più larga e spostata verso le alte velocità di quella dell’azoto, in blu. I punti indicano le velocità quadratiche medie.

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Livello base

Esercizio 1. L’equazione di stato

Esercizio 2. Mescolare acqua calda e fredda

Esercizio 3. Espansione isoterma

Esercizio 4. Riscaldamento a pressione costante

Livello medio

Esercizio 5. La compressione adiabatica dell’aria

Esercizio 6. Una macchina di Carnot

Esercizio 7. La pompa di calore

Esercizio 8. L’entropia del ghiaccio che fonde

Esercizio 9. Un ciclo rettangolare

Livello esame

Esercizio 10. Il ciclo Otto

Esercizio 11. Il ciclo Diesel

Esercizio 12. Due blocchi a contatto e il lavoro perduto

Esercizio 13. L’espansione libera

Esercizio 14. La velocità delle molecole

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