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Fisica 1

Grandezze fisiche, unità di misura e vettori

Il Sistema Internazionale, l'analisi dimensionale con l'esempio del pendolo, cifre significative, componenti dei vettori, somma, prodotto scalare e vettoriale con un esercizio svolto.

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La fisica descrive il mondo con numeri, ma un numero da solo non basta: “3” non vuol dire niente, “3 metri” sì, e “3 metri verso nord” ancora di più. Questa prima lezione mette a posto gli strumenti che servono per tutto il corso: grandezze e unità di misura, analisi dimensionale, vettori e le loro operazioni.

Grandezze fisiche e Sistema Internazionale

Una grandezza fisica è una proprietà che si può misurare: lunghezza, massa, tempo, temperatura. Il risultato di una misura è sempre un numero seguito da un’unità. Il Sistema Internazionale (SI) parte da sette grandezze fondamentali; tutte le altre (velocità, forza, energia, carica) si ottengono combinandole.

GrandezzaUnità SISimbolo
lunghezzametrom
massachilogrammokg
temposecondos
corrente elettricaampereA
temperaturakelvinK
quantità di sostanzamolemol
intensità luminosacandelacd

Dal 2019 tutte le unità SI sono definite fissando il valore esatto di costanti della natura: il secondo dalla frequenza di una transizione del cesio, il metro dalla velocità della luce (c = 299\,792\,458 m/s), il chilogrammo dalla costante di Planck, l’ampere dalla carica dell’elettrone.

Le unità derivate che useremo di più sono il newton (1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2), il joule (1\ \text{J} = 1\ \text{N·m}), il watt (1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}) e il pascal (1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2).

Analisi dimensionale

Ogni equazione fisica deve essere omogenea: i due membri devono avere le stesse dimensioni. È il controllo più veloce che esista per scoprire un errore in un calcolo. Indichiamo con [L], [M], [T] le dimensioni di lunghezza, massa e tempo.

Esempio. Il periodo di un pendolo semplice può dipendere dalla lunghezza l, dalla massa m e da g. Scriviamo T = k\, l^a m^b g^c e imponiamo le dimensioni:

    \[ [T] = [L]^a [M]^b \left([L][T]^{-2}\right)^c \]

Per la massa b = 0, per la lunghezza a + c = 0, per il tempo -2c = 1. Quindi c = -\tfrac12, a = \tfrac12 e T = k\sqrt{l/g}. L’analisi dimensionale non dà la costante k (vedremo che vale 2\pi), ma dice subito che il periodo non dipende dalla massa e che quadruplicando la lunghezza il periodo raddoppia.

Cifre significative e incertezza

Una misura senza incertezza è incompleta: l = (1{,}253 \pm 0{,}002) m. Nei calcoli il risultato non può essere più preciso dei dati: se misuri un tempo al centesimo di secondo, non ha senso scrivere la velocità con sei decimali. Regola pratica: nei prodotti e nei quozienti si tengono tante cifre significative quante ne ha il dato meno preciso.

Scalari e vettori

Massa, tempo, temperatura ed energia sono scalari: basta un numero con l’unità. Spostamento, velocità, accelerazione e forza sono vettori: servono un modulo, una direzione e un verso. Si scrive \vec A (o in grassetto) e il modulo |\vec A| o semplicemente A.

In un sistema di assi cartesiani ogni vettore si scompone lungo gli assi con i versori \hat\imath, \hat\jmath, \hat k, vettori di modulo 1 orientati come gli assi:

    \[ \vec A = A_x\,\hat\imath + A_y\,\hat\jmath + A_z\,\hat k \]

Componenti di un vettore e somma di due vettori con la regola del parallelogramma
A sinistra: le componenti A_x = A\cos\theta e A_y = A\sin\theta di un vettore nel piano. A destra: la somma \vec A + \vec B è la diagonale del parallelogramma costruito sui due vettori.

Nel piano, se \theta è l’angolo con l’asse x:

    \[ A_x = A\cos\theta,\qquad A_y = A\sin\theta,\qquad A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2},\qquad \tan\theta = \frac{A_y}{A_x} \]

Attenzione all’ultima formula: \arctan restituisce un angolo tra -90° e +90°, quindi se A_x \lt 0 bisogna aggiungere 180°. La funzione atan2 delle calcolatrici e dei linguaggi di programmazione lo fa da sola.

Somma e differenza

Geometricamente la somma si ottiene con la regola del parallelogramma, oppure mettendo la coda del secondo vettore sulla punta del primo. Con le componenti è ancora più semplice: si sommano componente per componente.

    \[ \vec A + \vec B = (A_x + B_x)\,\hat\imath + (A_y + B_y)\,\hat\jmath + (A_z + B_z)\,\hat k \]

La differenza \vec A - \vec B è la somma di \vec A con l’opposto di \vec B. Moltiplicare un vettore per uno scalare k ne moltiplica il modulo per |k| e, se k \lt 0, ne inverte il verso.

Esempio. Una barca si muove a 4 m/s verso est in un fiume la cui corrente va a 3 m/s verso nord. La velocità rispetto alla riva è \vec v = 4\,\hat\imath + 3\,\hat\jmath m/s, di modulo \sqrt{16 + 9} = 5 m/s, con un angolo \arctan(3/4) \approx 36{,}9° rispetto all’est.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori è un numero:

    \[ \vec A \cdot \vec B = A\,B\cos\varphi \]

dove \varphi è l’angolo tra i due vettori. È massimo quando sono paralleli, nullo quando sono perpendicolari, negativo quando formano un angolo ottuso. In fisica compare nel lavoro di una forza, W = \vec F\cdot\vec s, e nella potenza, P = \vec F\cdot\vec v.

Dimostrazione: prodotto scalare in componenti

I versori degli assi sono perpendicolari tra loro e di modulo 1, quindi \hat\imath\cdot\hat\imath = \hat\jmath\cdot\hat\jmath = \hat k\cdot\hat k = 1 e \hat\imath\cdot\hat\jmath = \hat\jmath\cdot\hat k = \hat k\cdot\hat\imath = 0. Sviluppando il prodotto con la proprietà distributiva, dei nove termini sopravvivono solo quelli con versori uguali:

    \[ \vec A\cdot\vec B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \]

Questa formula permette di calcolare l’angolo tra due vettori dati in componenti: \cos\varphi = \dfrac{\vec A\cdot\vec B}{A\,B}. Con \vec A = \vec B si ritrova il teorema di Pitagora in tre dimensioni, A^2 = A_x^2 + A_y^2 + A_z^2.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale \vec C = \vec A \times \vec B è un vettore:

  • modulo C = A\,B\sin\varphi, cioè l’area del parallelogramma costruito sui due vettori;
  • direzione perpendicolare al piano di \vec A e \vec B;
  • verso dato dalla regola della mano destra: indice lungo \vec A, medio lungo \vec B, il pollice indica \vec C.

Non è commutativo: \vec B\times\vec A = -\vec A\times\vec B. Il prodotto di un vettore per se stesso è nullo. In componenti si calcola con il determinante:

    \[ \vec A\times\vec B = (A_y B_z - A_z B_y)\,\hat\imath + (A_z B_x - A_x B_z)\,\hat\jmath + (A_x B_y - A_y B_x)\,\hat k \]

Lo useremo per il momento di una forza, \vec\tau = \vec r\times\vec F, per il momento angolare e, in Fisica 2, per la forza di Lorentz \vec F = q\,\vec v\times\vec B, che è il principio di funzionamento di ogni motore elettrico.

Esercizio svolto

Dati \vec A = 3\,\hat\imath - 2\,\hat\jmath + \hat k e \vec B = \hat\imath + 4\,\hat\jmath - 2\,\hat k, calcolare \vec A + \vec B, \vec A\cdot\vec B, l’angolo tra i due vettori e \vec A\times\vec B.

  • Somma: \vec A + \vec B = 4\,\hat\imath + 2\,\hat\jmath - \hat k.
  • Prodotto scalare: 3\cdot 1 + (-2)\cdot 4 + 1\cdot(-2) = 3 - 8 - 2 = -7.
  • Moduli: A = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}, B = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}; \cos\varphi = -7/\sqrt{294} \approx -0{,}408, quindi \varphi \approx 114°.
  • Prodotto vettoriale: \big((-2)(-2) - 1\cdot 4\big)\hat\imath + \big(1\cdot 1 - 3\cdot(-2)\big)\hat\jmath + \big(3\cdot 4 - (-2)\cdot 1\big)\hat k = 0\,\hat\imath + 7\,\hat\jmath + 14\,\hat k.

Verifica veloce: il prodotto vettoriale deve essere perpendicolare ad \vec A: 3\cdot 0 + (-2)\cdot 7 + 1\cdot 14 = 0. Corretto.

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