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Fisica 1

Cinematica: moto rettilineo, moto del proiettile e moto circolare

Posizione, velocità e accelerazione come derivate, le leggi del moto uniformemente accelerato, traiettoria, gittata e altezza massima del proiettile, accelerazione centripeta e moti relativi.

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La cinematica descrive il moto senza chiedersi che cosa lo provochi: dove si trova un corpo, quanto va veloce, come cambia la sua velocità. Gli strumenti sono i vettori della lezione precedente e le derivate di Analisi 1. In questa lezione ricaviamo le leggi del moto rettilineo, del moto del proiettile e del moto circolare, che poi useremo in tutta la dinamica.

Posizione, velocità, accelerazione

Il moto di un punto è descritto dal vettore posizione \vec r(t) in funzione del tempo. La velocità è la sua derivata, l’accelerazione è la derivata della velocità:

    \[ \vec v(t) = \frac{d\vec r}{dt},\qquad \vec a(t) = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d^2\vec r}{dt^2} \]

La velocità media in un intervallo \Delta t è \Delta\vec r/\Delta t: è la pendenza della corda nel grafico posizione-tempo, mentre la velocità istantanea è la pendenza della tangente. La velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria.

Il percorso inverso usa gli integrali: conoscendo l’accelerazione e le condizioni iniziali si ricostruiscono velocità e posizione.

    \[ \vec v(t) = \vec v_0 + \int_0^t \vec a(t')\,dt',\qquad \vec r(t) = \vec r_0 + \int_0^t \vec v(t')\,dt' \]

Moto rettilineo uniforme

Se la velocità è costante, a = 0 e la posizione cresce linearmente: x(t) = x_0 + v\,t. Nel grafico x(t) è una retta di pendenza v.

Moto uniformemente accelerato

Dimostrazione delle tre leggi

Con accelerazione costante a, integrando una volta si ottiene la velocità, integrando di nuovo la posizione:

    \[ v(t) = v_0 + a\,t \]

    \[ x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2 \]

Ricavando t = (v - v_0)/a dalla prima e sostituendo nella seconda si elimina il tempo:

    \[ x - x_0 = v_0\frac{v - v_0}{a} + \frac12 a\frac{(v - v_0)^2}{a^2} = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} \quad\Rightarrow\quad v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0) \]

Quest’ultima è comodissima quando il tempo non interessa. Esempio: un’auto a 100 km/h (27,8 m/s) frena con decelerazione 7 m/s². Lo spazio di frenata è v_0^2/(2a) = 27{,}8^2/14 \approx 55 m. A 130 km/h diventa circa 93 m: lo spazio cresce con il quadrato della velocità.

Un caso importante è la caduta libera: vicino alla superficie terrestre ogni corpo, in assenza di aria, accelera verso il basso con g \approx 9{,}81 m/s², indipendentemente dalla massa.

Moto del proiettile

Un corpo lanciato con velocità \vec v_0 che forma un angolo \theta con l’orizzontale, se si trascura l’aria, ha accelerazione costante \vec a = -g\,\hat\jmath. L’idea chiave è che i due moti sono indipendenti: in orizzontale il moto è uniforme, in verticale è uniformemente accelerato.

Traiettoria parabolica di un proiettile con le componenti della velocità in quattro punti
La componente orizzontale v_x (azzurra) resta costante; quella verticale v_y (verde) diminuisce, si annulla nel punto più alto e poi cambia verso. La velocità (rossa) è sempre tangente alla traiettoria.

    \[ x(t) = v_0\cos\theta\; t,\qquad y(t) = v_0\sin\theta\; t - \tfrac12 g\,t^2 \]

Dimostrazione: la traiettoria è una parabola

Dalla prima equazione t = x/(v_0\cos\theta). Sostituendo nella seconda:

    \[ y = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}\,x^2 \]

È una parabola con la concavità verso il basso, che passa per l’origine.

Gittata e altezza massima

Il proiettile torna a terra quando y = 0, cioè per t = 0 o t = 2v_0\sin\theta/g. La gittata è la distanza percorsa in orizzontale in quel tempo:

    \[ R = v_0\cos\theta\cdot\frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g} \]

Poiché \sin 2\theta vale al massimo 1 per \theta = 45°, quello è l’angolo di gittata massima. Angoli complementari (30° e 60°) danno la stessa gittata. L’altezza massima si raggiunge quando v_y = 0; usando v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y sulla verticale:

    \[ h_{max} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} \]

Esempio. Un pallone calciato a 20 m/s con un angolo di 35°: R = 400\cdot\sin 70°/9{,}81 \approx 38 m, h_{max} = 400\cdot\sin^2 35°/19{,}6 \approx 6{,}7 m. Nella realtà l’aria accorcia la gittata, e parecchio per una pallina leggera.

Moto circolare

Un punto che si muove su una circonferenza di raggio r è descritto dall’angolo \theta(t). La velocità angolare è \omega = d\theta/dt (rad/s) e la velocità lungo la circonferenza è v = \omega r. Se \omega è costante il moto è circolare uniforme, con periodo T = 2\pi/\omega e frequenza f = 1/T.

Moto circolare uniforme con velocità tangente e accelerazione centripeta
Nel moto circolare uniforme la velocità è tangente alla circonferenza, l’accelerazione punta verso il centro.

Dimostrazione: l’accelerazione centripeta

Anche se il modulo della velocità è costante, la sua direzione cambia: quindi c’è un’accelerazione. Scriviamo la posizione con \theta = \omega t:

    \[ \vec r(t) = r\cos\omega t\;\hat\imath + r\sin\omega t\;\hat\jmath \]

Derivando una volta:

    \[ \vec v(t) = -\omega r\sin\omega t\;\hat\imath + \omega r\cos\omega t\;\hat\jmath \]

che ha modulo \omega r ed è perpendicolare a \vec r (il prodotto scalare è nullo). Derivando ancora:

    \[ \vec a(t) = -\omega^2 r\cos\omega t\;\hat\imath - \omega^2 r\sin\omega t\;\hat\jmath = -\omega^2\,\vec r(t) \]

L’accelerazione è opposta al vettore posizione, cioè punta verso il centro, e vale

    \[ a_c = \omega^2 r = \frac{v^2}{r} \]

Se anche il modulo della velocità cambia, all’accelerazione centripeta si aggiunge un’accelerazione tangenziale a_t = dv/dt = r\,\alpha, dove \alpha = d\omega/dt è l’accelerazione angolare.

Esempio. Un disco rigido da 7200 giri al minuto: \omega = 7200\cdot 2\pi/60 \approx 754 rad/s. Un punto a 4 cm dal centro ha v \approx 30 m/s e un’accelerazione centripeta di circa 23\,000 m/s², oltre duemila volte g.

Moti relativi

La velocità dipende da chi la misura. Se un sistema di riferimento si muove rispetto a un altro con velocità costante \vec V, le velocità misurate nei due sistemi sono legate dalla trasformazione di Galileo:

    \[ \vec v = \vec v\,' + \vec V \]

Un passeggero che cammina a 1,5 m/s verso la testa di un treno che viaggia a 30 m/s si muove a 31,5 m/s rispetto ai binari. Le accelerazioni invece sono le stesse nei due sistemi, perché \vec V è costante: per questo le leggi di Newton valgono uguali in tutti i sistemi inerziali. Questa regola funziona bene a velocità piccole rispetto a quella della luce; oltre serve la relatività.

In sintesi

MotoLeggi
rettilineo uniformex = x_0 + vt
uniformemente acceleratov = v_0 + at, x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 at^2, v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x
proiettileR = v_0^2\sin 2\theta/g, h_{max} = v_0^2\sin^2\theta/(2g)
circolare uniformev = \omega r, a_c = v^2/r, T = 2\pi/\omega

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