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Analisi Matematica 1

Derivate: definizione, tabella e regole di derivazione

Rapporto incrementale e retta tangente, punti angolosi e cuspidi, derivate delle funzioni elementari, regole di derivazione con esempi, differenziale ed errori frequenti.

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La derivata misura quanto velocemente cambia una funzione. Geometricamente è la pendenza della retta tangente al grafico, fisicamente è una velocità: la corrente è la derivata della carica, la tensione su un’induttanza è proporzionale alla derivata della corrente.

Definizione

f è derivabile in x_0 se esiste finito il limite del rapporto incrementale

    \[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. \]

Il rapporto è la pendenza della retta che passa per due punti del grafico; al limite diventa la pendenza della tangente, che ha equazione y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).

Derivabile implica continua, ma non il contrario. |x| è continua in 0 ma ha derivata destra +1 e sinistra -1: un punto angoloso. \sqrt[3]{x} in 0 ha tangente verticale (derivata infinita), \sqrt{|x|} ha una cuspide.

Derivate delle funzioni elementari

f(x)f'(x)f(x)f'(x)
x^\alpha\alpha x^{\alpha-1}\tan x1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
e^xe^x\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
a^xa^x \ln a\arccos x-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\ln x\frac1x\arctan x\frac{1}{1+x^2}
\sin x\cos x\ln|x|\frac1x
\cos x-\sin x\sqrt{x}\frac{1}{2\sqrt x}

Ognuna si ricava dalla definizione e da un limite notevole. Per esempio \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \to \cos x.

Regole di derivazione

  • Linearità: (af + bg)' = af' + bg'.
  • Prodotto: (fg)' = f'g + fg' (dimostrazione nell’approfondimento).
  • Quoziente: \left(\frac fg\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.
  • Funzione composta (regola della catena): \big(f(g(x))\big)' = f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Funzione inversa: se y = f(x), (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}. Così si ricava (\ln x)' = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac1x.

Esempi.

  • \big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos(x^2);
  • \big(e^{-3x}\cos x\big)' = -3e^{-3x}\cos x - e^{-3x}\sin x;
  • \big(\ln(1 + x^2)\big)' = \frac{2x}{1+x^2};
  • \big(x^x\big)' = \big(e^{x\ln x}\big)' = x^x(\ln x + 1): quando la variabile sta sia nella base sia nell’esponente si passa all’esponenziale.

Derivate successive e differenziale

Derivando più volte si ottengono f'', f''', f^{(n)}. La derivata seconda misura come cambia la pendenza (in fisica è l’accelerazione) e decide la concavità del grafico. Il differenziale df = f'(x_0)\,dx è la variazione lungo la tangente: per piccoli incrementi f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)h. È l’approssimazione lineare che si usa per stimare gli errori: se R = V/I e la tensione ha un errore relativo dell’1%, anche R ha circa l’1% di errore dovuto a V.

Errori frequenti

  • Dimenticare la derivata interna nella regola della catena: (\cos 3x)' = -3\sin 3x, non -\sin 3x.
  • Usare la regola delle potenze per le esponenziali: (2^x)' = 2^x\ln 2, non x\,2^{x-1}.
  • Derivare |x| come se fosse x: la derivata è \operatorname{sgn} x per x \ne 0 e non esiste in 0.

Nei circuiti

Le relazioni costitutive dei componenti sono derivate: i = C\frac{dv}{dt} per il condensatore, v = L\frac{di}{dt} per l’induttanza. Con una tensione v(t) = V_m\sin(\omega t) su un condensatore, la corrente è C\omega V_m\cos(\omega t): anticipata di 90° e proporzionale alla frequenza. È il motivo per cui un condensatore “blocca” la continua e lascia passare le alte frequenze.

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