Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy e il teorema di de l’Hôpital
Punti stazionari, teorema di Rolle, teorema del valor medio e conseguenze sulla monotonia, teorema di Cauchy, de l'Hôpital con esempi e quando non usarlo.
I teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy collegano la derivata al comportamento globale della funzione: crescenza, massimi e minimi, stime. Il teorema di de l’Hôpital, che ne è una conseguenza, è lo strumento più usato per le forme indeterminate.
Fermat: i punti stazionari
Se 
ha un massimo o un minimo locale in un punto interno 
ed è derivabile lì, allora 
. Il viceversa è falso: 
ha derivata nulla in 0 ma lì non ha né massimo né minimo. Per questo i candidati a estremo di una funzione su un intervallo sono tre tipi di punti: quelli con 
, quelli in cui non è derivabile, e gli estremi dell’intervallo.
Rolle
Se è continua su ![[a, b]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69b0b734c4059de07bf0a2619ad6df3a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, derivabile su 
e 
, esiste 
con 
. Dimostrazione: per Weierstrass ha massimo e minimo su ; se sono entrambi agli estremi la funzione è costante, altrimenti uno dei due è interno e per Fermat lì la derivata si annulla.
Lagrange (valor medio)
Se è continua su e derivabile su , esiste con
![\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa750e9cc84928b56d7be0c278e215d4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In qualche punto la tangente è parallela alla corda. In termini di velocità: se in un’ora percorri 90 km, in almeno un istante il tachimetro ha segnato esattamente 90 km/h. La dimostrazione applica Rolle alla funzione 
meno la retta della corda.
Conseguenze, che si usano di continuo:
- se su un intervallo, è costante lì (ed è il motivo per cui le primitive differiscono per una costante);
- se
su un intervallo, è strettamente crescente; se 
, decrescente; - stime:
, perché 
.
Cauchy
Generalizza Lagrange a due funzioni: con le stesse ipotesi su e 
, e 
, esiste 
con 
. È il passo che serve per dimostrare de l’Hôpital.
Il teorema di de l’Hôpital
Se e 
tendono entrambe a 0 (oppure entrambe a 
) per 
, sono derivabili vicino a con , ed esiste il limite di 
, allora
![\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc7dfe5efb4d3ddc66a28ad2e191be95_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vale anche per 
.
(applicato tre volte);
;
: è 
, si riscrive come 
e si ottiene 
.
Quando non usarlo
- Se non c’è forma indeterminata:
per 
vale 
; derivando si otterrebbe 1, sbagliato. - Se il limite di
non esiste non si può concludere nulla: 
per 
tende a 1, ma 
non ha limite. - Per dimostrare i limiti notevoli: servirebbe conoscere già le derivate, che si ricavano proprio da quei limiti.
- Quando le derivate si complicano: spesso le equivalenze o gli sviluppi di Taylor arrivano al risultato in una riga.