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Analisi Matematica 1

La formula di Taylor e Mac Laurin: sviluppi, resto e calcolo dei limiti

Il polinomio di Taylor, resto di Peano e di Lagrange, gli sviluppi da sapere, come si calcolano i limiti con Taylor e le applicazioni alla linearizzazione.

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La retta tangente approssima una funzione vicino a un punto. Il polinomio di Taylor fa lo stesso con una parabola, una cubica, un polinomio di grado qualsiasi, e l’approssimazione migliora a ogni grado in più. È lo strumento più potente di Analisi 1 per i limiti, e quello che le calcolatrici usano per calcolare seni ed esponenziali.

Il polinomio di Taylor

Se f è derivabile n volte in x_0, il polinomio di Taylor di ordine n è

    \[ T_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n. \]

È l’unico polinomio di grado \le n che ha in x_0 lo stesso valore e le stesse prime n derivate di f. Con x_0 = 0 si chiama polinomio di Mac Laurin.

Il resto

L’errore R_n(x) = f(x) - T_n(x) si può scrivere in due modi:

  • resto di Peano: R_n(x) = o\big((x - x_0)^n\big), cioè l’errore è trascurabile rispetto a (x - x_0)^n quando x \to x_0. È quello che serve per i limiti;
  • resto di Lagrange: R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} per un c tra x_0 e x. È quello che serve per stimare l’errore numericamente.

Il simbolo o(g) (“o piccolo di g”) indica una quantità che, divisa per g, tende a 0. Regole utili: o(x^n) + o(x^n) = o(x^n), x^m\cdot o(x^n) = o(x^{m+n}), o(x^n) = o(x^m) se n \ge m.

Gli sviluppi da sapere (x → 0)

e^x1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
\sin xx - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots + o(x^{2n+2})
\cos x1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots + o(x^{2n+1})
\ln(1+x)x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)
(1+x)^\alpha1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)
\frac{1}{1-x}1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)
\arctan xx - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots
\tan xx + \frac{x^3}{3} + o(x^4)

Gli sviluppi di funzioni composte si ottengono sostituendo: e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4), \sin(2x) = 2x - \frac{4x^3}{3} + o(x^3).

Calcolare i limiti con Taylor

Si sviluppa numeratore e denominatore fino al primo termine che non si cancella.

    \[ \lim_{x\to0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac12. \]

    \[ \lim_{x\to0}\frac{\cos x - e^{-x^2/2}}{x^4} = \lim_{x\to0}\frac{\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}\right) + o(x^4)}{x^4} = \frac{1}{24} - \frac18 = -\frac{1}{12}. \]

Nel secondo esempio le equivalenze del primo ordine danno 1 - 1 e de l’Hôpital richiederebbe quattro derivate: con Taylor bastano due righe. La regola pratica è spingere lo sviluppo fino all’ordine del denominatore.

Altri usi

  • Natura dei punti stazionari: se f'(x_0) = 0 e la prima derivata non nulla è di ordine n, per n pari x_0 è un estremo (minimo se f^{(n)} > 0), per n dispari è un flesso.
  • Calcolo numerico: e^{0{,}1} \approx 1 + 0{,}1 + 0{,}005 + 0{,}000167 = 1{,}105167, con errore di Lagrange minore di \frac{e^{0,1}}{24}\cdot 10^{-4} \approx 5\cdot10^{-6}.
  • Linearizzazione: in elettronica i modelli “per piccoli segnali” del diodo e del transistor sono lo sviluppo al primo ordine della caratteristica esponenziale attorno al punto di lavoro, e i termini di ordine due e tre sono la distorsione armonica.

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