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Analisi Matematica 1

Studio di funzione: il procedimento passo per passo con un esempio completo

Dominio, segno, limiti e asintoti, derivata prima e seconda, massimi, minimi e flessi, con lo studio completo di x per e alla meno x e il massimo trasferimento di potenza.

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Lo studio di funzione mette insieme tutto il corso: dominio, limiti, derivate, monotonia, concavità. L’obiettivo è disegnare un grafico qualitativo corretto, cioè con gli asintoti, i massimi, i minimi e i flessi al posto giusto, senza calcolare centinaia di punti. Qui c’è il procedimento passo per passo, applicato a un esempio completo.

I passi

  1. Dominio e eventuali simmetrie (pari, dispari, periodica).
  2. Intersezioni con gli assi e segno di f.
  3. Limiti agli estremi del dominio e asintoti (verticali, orizzontali, obliqui).
  4. Derivata prima: dove esiste, dove si annulla, segno. Da qui intervalli di crescenza, massimi e minimi, punti angolosi o cuspidi.
  5. Derivata seconda: segno, quindi concavità e punti di flesso.
  6. Grafico, controllando che tutto sia coerente.

Concavità: dove f'' > 0 il grafico è convesso (rivolto verso l’alto, come x^2), dove f'' < 0 è concavo. Un flesso è un punto in cui la concavità cambia.

Esempio completo: f(x) = x\,e^{-x}

1. Dominio. Tutto \mathbb R. Nessuna simmetria: f(-x) = -x e^{x} non è né f(x) né -f(x).

2. Intersezioni e segno. f(x) = 0 solo per x = 0. Poiché e^{-x} > 0, il segno è quello di x: negativa per x < 0, positiva per x > 0.

3. Limiti. Per x \to -\infty: x \to -\infty e e^{-x} \to +\infty, quindi f \to -\infty. Controllo dell’asintoto obliquo: \frac{f(x)}{x} = e^{-x} \to +\infty, quindi non c’è. Per x \to +\infty: \frac{x}{e^x} \to 0 (l’esponenziale vince sulla potenza), asintoto orizzontale y = 0.

4. Derivata prima. f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x)e^{-x}. Si annulla in x = 1, è positiva per x < 1 e negativa per x > 1. Quindi f cresce fino a 1 e poi decresce: massimo assoluto in \left(1, \frac1e\right) \approx (1;\ 0{,}368).

5. Derivata seconda. f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}. Negativa per x < 2 (concava), positiva per x > 2 (convessa): flesso in \left(2, \frac{2}{e^2}\right) \approx (2;\ 0{,}271).

6. Grafico. Arriva da -\infty a sinistra, passa per l’origine con pendenza f'(0) = 1, sale fino al massimo in x = 1, scende, cambia concavità in x = 2 e si appiattisce verso l’asse x senza mai toccarlo. Questa forma, con un’impennata rapida e un ritorno lento, è la risposta di un circuito RLC con smorzamento critico a un impulso.

Controlli utili

  • Il segno di f' deve essere coerente con i limiti: se f \to +\infty a destra, alla fine la funzione deve crescere.
  • Tra due massimi consecutivi c’è sempre un minimo (per una funzione continua su un intervallo).
  • Un asintoto orizzontale può essere attraversato dal grafico: non è un divieto, descrive solo il comportamento all’infinito.
  • Nei punti dove f non è derivabile (radici, valori assoluti) calcola derivata destra e sinistra per capire se c’è un punto angoloso o una cuspide.

Massimi e minimi su un intervallo chiuso

Per gli estremi assoluti su [a, b] basta confrontare il valore di f nei punti stazionari interni, nei punti di non derivabilità e agli estremi a e b. È la versione “da ingegnere” dello studio di funzione: per esempio, la potenza trasferita a un carico R_L da un generatore con resistenza interna R_s è P = \frac{V^2 R_L}{(R_s + R_L)^2}. Derivando rispetto a R_L si trova il massimo per R_L = R_s: il teorema del massimo trasferimento di potenza.

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