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Analisi Matematica 1

Integrali indefiniti: integrali immediati e metodi di integrazione

Primitive, tabella degli integrali immediati, integrazione per sostituzione e per parti, funzioni razionali con i fratti semplici, potenze di seno e coseno.

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Integrare è l’operazione inversa del derivare: data f, si cerca una funzione F la cui derivata sia f. Mentre derivare è meccanico, integrare richiede di riconoscere schemi e scegliere il metodo giusto. Questa lezione raccoglie gli integrali immediati e i tre metodi principali: sostituzione, per parti, funzioni razionali.

Primitive e integrale indefinito

F è una primitiva di f su un intervallo se F' = f. Due primitive differiscono per una costante (conseguenza del teorema di Lagrange), quindi l’insieme di tutte le primitive si scrive \int f(x)\,dx = F(x) + C. Si verifica sempre il risultato derivandolo.

Integrali immediati

\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C (\alpha \ne -1)\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C
\int e^x\,dx = e^x + C\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C
\int \sin x\,dx = -\cos x + C\int \cos x\,dx = \sin x + C
\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C

L’ultima riga è un caso della regola generale \int g'(f(x))\,f'(x)\,dx = g(f(x)) + C: quando nell’integrale compare una funzione insieme alla sua derivata, l’integrale è quasi immediato. Esempi: \int 2x\,e^{x^2}dx = e^{x^2} + C, \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.

Integrazione per sostituzione

Si pone x = \varphi(t), quindi dx = \varphi'(t)\,dt, e si sostituisce tutto. Alla fine si torna alla variabile x.

    \[ \int \frac{1}{\sqrt{x}\,(1 + x)}\,dx \quad \xrightarrow{\ x = t^2,\ dx = 2t\,dt\ } \quad \int \frac{2t}{t(1 + t^2)}\,dt = 2\arctan t + C = 2\arctan\sqrt{x} + C. \]

Sostituzioni ricorrenti: t = \sqrt{\dots} per eliminare una radice, t = e^x per le funzioni di e^x, t = \tan\frac{x}{2} per le funzioni razionali di seno e coseno.

Integrazione per parti

Dalla regola del prodotto si ottiene

    \[ \int f'(x)\,g(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f(x)\,g'(x)\,dx. \]

Si sceglie come g il fattore che si semplifica derivando (polinomi, logaritmi) e come f' quello che si integra facilmente.

  • \int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = (x - 1)e^x + C.
  • \int \ln x\,dx = \int 1\cdot\ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - x + C.
  • \int e^x\sin x\,dx: applicando due volte le parti si ritrova l’integrale di partenza e si risolve come un’equazione: \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C.

Funzioni razionali

Per \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx: se il grado di P è maggiore o uguale a quello di Q si fa prima la divisione. Poi si scompone in fratti semplici secondo le radici del denominatore.

    \[ \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1} \quad\Rightarrow\quad \int \frac{dx}{x^2-1} = \frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C. \]

Se il denominatore ha un fattore di secondo grado senza radici reali, come x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4, si completa il quadrato e si arriva a un’arcotangente: \int\frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac12\arctan\frac{x+1}{2} + C.

Funzioni trigonometriche

Le potenze pari di seno e coseno si abbassano con \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} e \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}: \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C. È esattamente il calcolo che porta al valore efficace di una sinusoide, V_{\text{eff}} = \frac{V_m}{\sqrt 2}.

Non tutte le funzioni elementari hanno una primitiva elementare: e^{-x^2}, \frac{\sin x}{x}, \frac{1}{\ln x} non si integrano con i metodi visti. I loro integrali definiscono funzioni nuove (la funzione d’errore della statistica, il seno integrale dei filtri) e si calcolano numericamente.

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