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Analisi Matematica 1

Limiti di funzioni: definizioni, teoremi, forme indeterminate e asintoti

Definizione con epsilon e delta, limiti destro e sinistro, teoremi di calcolo e del confronto, le forme indeterminate con le tecniche per risolverle, asintoti.

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Il limite di una funzione descrive come si comporta f(x) quando x si avvicina a un punto, senza preoccuparsi di cosa succede nel punto stesso. È il concetto su cui si costruiscono continuità, derivate e integrali. Questa lezione dà le definizioni, le regole di calcolo e i metodi per le forme indeterminate.

Le definizioni

Sia x_0 un punto di accumulazione del dominio di f. Si scrive \lim_{x\to x_0} f(x) = L se

    \[ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon. \]

La condizione 0 < |x - x_0| esclude il punto x_0: il valore f(x_0), se esiste, non conta. Le altre varianti si ottengono cambiando gli intorni: per x \to +\infty si chiede x > M invece di |x - x_0| < \delta; per un limite infinito si chiede f(x) > K invece di |f(x) - L| < \varepsilon.

Limiti destro e sinistro. Se ci si avvicina solo da destra (x > x_0) o solo da sinistra si ottengono \lim_{x\to x_0^+} e \lim_{x\to x_0^-}. Il limite esiste se e solo se esistono entrambi e sono uguali. Per f(x) = \frac{|x|}{x} in 0 valgono +1 e -1: il limite non esiste.

Teoremi di calcolo

  • Unicità del limite e permanenza del segno, come per le successioni.
  • Algebra dei limiti per somma, prodotto, quoziente.
  • Confronto: se g \le f \le h vicino a x_0 e g, h \to L, allora f \to L. È così che si dimostra x\sin\frac1x \to 0 per x \to 0: -|x| \le x\sin\frac1x \le |x|.
  • Funzione composta e cambio di variabile: se g(x) \to L e f è continua in L, f(g(x)) \to f(L) (vedi l’approfondimento dedicato).
  • Legame con le successioni: f(x) \to L se e solo se f(x_n) \to L per ogni successione x_n \to x_0 con x_n \ne x_0. Serve soprattutto per dimostrare che un limite non esiste: \sin\frac1x per x \to 0 vale 0 lungo x_n = \frac{1}{n\pi} e 1 lungo x_n = \frac{1}{\pi/2 + 2n\pi}.

Le forme indeterminate e come si trattano

FormaTecnica tipicaEsempio
\frac{0}{0} con polinomiscomporre e semplificare\frac{x^2-4}{x-2} = x + 2 \to 4 per x\to2
\frac{\infty}{\infty} con polinomiraccogliere la potenza più alta\frac{2x^3+x}{5x^3-1} \to \frac25
\infty - \infty con radicirazionalizzare\sqrt{x^2+x} - x \to \frac12
\frac{0}{0} con funzioni trascendentilimiti notevoli ed equivalenze\frac{\sin 5x}{x} \to 5
1^\infty, 0^0, \infty^0scrivere f^g = e^{g \ln f}x^x = e^{x\ln x} \to 1 per x\to0^+

Per l’esempio con la radice: \sqrt{x^2+x} - x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \to \frac12. Più avanti nel corso de l’Hôpital e gli sviluppi di Taylor offrono strumenti ancora più generali.

Asintoti

I limiti descrivono il grafico “ai bordi”:

  • verticale x = x_0 se f(x) \to \pm\infty per x \to x_0 (anche solo da un lato);
  • orizzontale y = L se f(x) \to L per x \to \pm\infty;
  • obliquo y = mx + q se m = \lim \frac{f(x)}{x} e q = \lim (f(x) - mx) sono finiti, con m \ne 0.

Esempio: f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} ha asintoto verticale x = 1 e, poiché \frac{f(x)}{x} \to 1 e f(x) - x = \frac{x + 1}{x - 1} \to 1, asintoto obliquo y = x + 1.

Un’interpretazione fisica

Il valore di regime di un circuito è un limite per t \to +\infty: la tensione su un condensatore che si carica, v(t) = V(1 - e^{-t/\tau}), tende a V, l’asintoto orizzontale. Il guadagno di un amplificatore ad anello aperto molto alto, \frac{A}{1 + A\beta}, tende a \frac{1}{\beta} per A \to \infty: è il motivo per cui la retroazione rende il guadagno indipendente dai transistor.

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