Successioni e loro limiti: definizioni, teoremi e metodi di calcolo

Una successione è un elenco infinito di numeri , cioè una funzione definita sui numeri naturali. È il primo posto in cui si incontra il concetto di limite, in una forma più semplice di quella per le funzioni, e tornerà nelle serie, nei metodi numerici e nei segnali a tempo discreto.

Definizione di limite

Si dice che converge a , e si scrive , se

In parole: comunque si fissi una tolleranza , da un certo indice in poi tutti i termini stanno a distanza minore di da . La successione diverge a se per ogni da un certo indice in poi . Se non converge e non diverge si dice irregolare (o indeterminata), come .

Esempio. : dato , basta prendere . Con vanno bene tutti i termini da in poi.

Proprietà fondamentali

• Unicità: se il limite esiste è unico.
• Limitatezza: una successione convergente è limitata (il contrario è falso: ).
• Permanenza del segno: se , da un certo punto in poi .
• Algebra dei limiti: il limite di somma, prodotto e quoziente (con denominatore che non tende a 0) è la somma, il prodotto, il quoziente dei limiti.
• Teorema del confronto: se e , anche .

Le forme indeterminate

L’algebra dei limiti non dice nulla nei casi , , , , , , . Lì serve lavorare sull’espressione. Due tecniche frequenti:

• Raccogliere il termine dominante: .
• Razionalizzare: .

Successioni monotone e il numero e

Un risultato centrale, conseguenza della completezza dei reali: ogni successione monotona ha limite; se è anche limitata, il limite è finito (è l’estremo superiore o inferiore dei suoi valori). Così si dimostra che

perché questa successione è crescente e limitata (per esempio da 3). È anche il modello della capitalizzazione composta: un interesse del 100% diviso in rate sempre più frequenti fa crescere il capitale al massimo di un fattore .

Successioni definite per ricorrenza

Spesso un termine si calcola dal precedente: . Se la successione converge a e è continua, il limite deve soddisfare . Esempio: , . Il limite, se esiste, verifica , cioè : la successione approssima (1; 1,5; 1,4167; 1,41422…). È il metodo babilonese, un caso particolare del metodo di Newton che i calcolatori usano ancora per le radici.

Sottosuccessioni e criterio di Cauchy

Se , ogni sottosuccessione tende a . Per questo, trovare due sottosuccessioni con limiti diversi dimostra che il limite non esiste. Il teorema di Bolzano-Weierstrass garantisce che da ogni successione limitata se ne può estrarre una convergente (vedi l’approfondimento). Infine il criterio di Cauchy: una successione converge se e solo se i suoi termini diventano arbitrariamente vicini tra loro, per grandi. È utile perché permette di dimostrare la convergenza senza conoscere il limite.

Limiti da ricordare

• se , se , irregolare se ;
• per , ;
• per , , .

Nei segnali a tempo discreto una successione è un segnale campionato: con è un’eco che si spegne, e la sua convergenza a zero è la stabilità del sistema che la produce.