Potenziale elettrico e superfici equipotenziali
Energia potenziale e potenziale, elettronvolt, campo come gradiente del potenziale, superfici equipotenziali, sfere collegate e dipolo, energia del campo e rigidità dielettrica.
Il campo elettrico è un vettore, e lavorare con i vettori è faticoso. Siccome la forza elettrostatica è conservativa, si può descrivere tutto con una sola funzione scalare, il potenziale elettrico. La sua differenza tra due punti è la tensione, la grandezza che si misura con un voltmetro e su cui si ragiona in ogni circuito. In questa lezione definiamo il potenziale, vediamo il legame con il campo e le superfici equipotenziali.
L’energia potenziale elettrica
La forza di Coulomb è centrale e dipende solo dalla distanza, quindi è conservativa (lezione di Analisi 2 sui campi conservativi): il lavoro per spostare una carica non dipende dal percorso. Si può quindi definire un’energia potenziale. Per due cariche puntiformi, con lo zero all’infinito:
![\[ U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b52df14fc56232333a8681968de753da_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È positiva per cariche dello stesso segno (bisogna spendere lavoro per avvicinarle) e negativa per cariche opposte (il sistema è legato).
Il potenziale elettrico
Il potenziale in un punto è l’energia potenziale per unità di carica:
![\[ V = \frac{U}{q_0}\qquad[\text{V} = \text{J/C}] \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21c8baedd634bf3186823780d5dbac3e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per una carica puntiforme 
, e per più cariche si sommano i potenziali, che sono numeri: molto più semplice che sommare vettori.
La differenza di potenziale tra due punti è il lavoro, cambiato di segno, che il campo compie per unità di carica:
![\[ V_B - V_A = -\int_A^B\vec E\cdot d\vec l \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cc9e4147bf03c3cdc3b107aad64ecbe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Una carica 
che attraversa una differenza di potenziale 
guadagna o perde l’energia 
. Un elettrone accelerato da 1 V acquista 
J, un elettronvolt (eV), l’unità di energia della fisica atomica e dei semiconduttori: il band gap del silicio è 1,12 eV.
Dal potenziale al campo
L’integrale si inverte con una derivata: il campo è meno il gradiente del potenziale
![\[ \vec E = -\nabla V,\qquad E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\ \dots \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a6a870fdbb7e88165dba99775ca8880_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il campo punta dove il potenziale diminuisce più rapidamente. In un campo uniforme, come tra le armature di un condensatore piano, 
: con 10 V su 1 mm il campo vale 10 kV/m. Per questo l’unità del campo si scrive spesso V/m.
Le superfici equipotenziali
Sono le superfici su cui 
è costante, le “curve di livello” del potenziale. Poiché il gradiente è perpendicolare alle curve di livello:
- le linee di campo sono perpendicolari alle superfici equipotenziali;
- spostare una carica lungo una superficie equipotenziale non richiede lavoro.
Un conduttore in equilibrio è tutto allo stesso potenziale: dentro il campo è nullo, quindi non ci sono differenze di potenziale. La sua superficie è una superficie equipotenziale, ed è per questo che il campo appena fuori è perpendicolare alla superficie.
Esempi di calcolo
Sfera conduttrice carica 
, raggio 
: fuori il potenziale è 
, sulla superficie e dentro vale 
, costante.
Due sfere collegate da un filo. Due sfere conduttrici di raggi 
e 
, lontane tra loro e collegate da un filo, sono allo stesso potenziale: 
. Le densità superficiali stanno allora come 
: la sfera più piccola ha il campo più intenso. È la spiegazione quantitativa dell’effetto punta.
Il dipolo. Due cariche 
e 
a distanza 
. A distanza 
, in direzione 
rispetto all’asse:
![\[ V \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2},\qquad p = q\,d \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a7d4da1015659d6bd7b1cc52aa51f74_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il potenziale del dipolo cala come 
, più in fretta di quello di una carica singola, perché da lontano le due cariche quasi si compensano. Le molecole polari come l’acqua sono dipoli, ed è da questo che dipendono le proprietà dei dielettrici.
L’energia di una distribuzione di cariche
Per assemblare un sistema di cariche bisogna spendere lavoro, che resta immagazzinato come energia elettrostatica. Si può pensare che l’energia sia localizzata nel campo stesso, con una densità
![\[ u_E = \tfrac12\,\varepsilon_0 E^2\qquad[\text{J/m}^3] \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b2ab95a86eea5cac9171488929c4035_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È lo stesso risultato che ritroveremo per l’energia di un condensatore, e mostra che il campo non è solo un artificio di calcolo: trasporta energia, come vedremo con le onde elettromagnetiche.
La rigidità dielettrica
Ogni isolante sopporta un campo massimo prima di diventare conduttore (scarica). Per l’aria secca è circa 3 MV/m, cioè 3 kV per millimetro. È questo valore che decide le distanze di isolamento sui circuiti stampati che portano la tensione di rete, e la tensione massima dei condensatori e dei transistor: il biossido di silicio regge circa 1 V per nanometro, quindi l’ossido di gate di un transistor moderno, spesso pochi nanometri, arriva al limite con pochi volt.
