Campo elettrico e legge di Gauss
Definizione del campo, linee di campo, flusso, dimostrazione della legge di Gauss, campo di sfera, filo e piano, conduttori in equilibrio, gabbia di Faraday ed effetto punta.
La legge di Coulomb descrive una forza “a distanza” tra due cariche. Il concetto di campo cambia il punto di vista: ogni carica modifica lo spazio attorno a sé, e un’altra carica risponde al campo nel punto in cui si trova. Sembra solo un modo diverso di dire la stessa cosa, ma è il passo che porta alle onde elettromagnetiche. In questa lezione definiamo il campo elettrico, le linee di campo e la legge di Gauss, con le sue applicazioni.
Il campo elettrico
Il campo elettrico in un punto è la forza che agirebbe su una carica di prova positiva 
messa lì, divisa per :
![\[ \vec E = \frac{\vec F}{q_0}\qquad[\text{N/C} = \text{V/m}] \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8965cd0ad024523d0b9d019d365abb6d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per una carica puntiforme 
, dalla legge di Coulomb:
![\[ \vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat r \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0273044ed03847d5138baeba02a39a45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
radiale, uscente se 
, entrante se 
. Per più cariche vale la sovrapposizione: i campi si sommano come vettori. Una carica in un campo 
subisce la forza 
.
Le linee di campo
Le linee di campo sono curve tangenti in ogni punto a . Escono dalle cariche positive, entrano in quelle negative, non si incrociano mai, e sono più fitte dove il campo è più intenso.
Il flusso del campo elettrico
Il flusso di attraverso una superficie è 
: misura “quante linee di campo” attraversano la superficie. Per una superficie chiusa si prende la normale uscente, quindi il flusso è positivo se le linee escono e negativo se entrano.
La legge di Gauss
Il flusso del campo elettrico attraverso qualsiasi superficie chiusa è uguale alla carica contenuta divisa per 
:
![\[ \oint_S\vec E\cdot\hat n\,dA = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-490ab1a2048af59a425d3dd0b302e3af_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
centrata sulla carica: il campo è radiale, quindi parallelo alla normale 
in ogni punto, e ha lo stesso modulo su tutta la sfera.Dimostrazione per una carica puntiforme
Prendiamo una sfera di raggio centrata sulla carica. Su ogni punto è radiale, come la normale, e ha modulo costante 
. Quindi
![\[ \oint\vec E\cdot\hat n\,dA = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-794d30eac8c515bf960503db2d346415_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il raggio si semplifica: è la dipendenza 
del campo a compensare esattamente la crescita 
dell’area. Per una superficie chiusa qualsiasi il risultato non cambia, perché il flusso attraverso un elemento di superficie dipende solo dall’angolo solido sotto cui è visto dalla carica, e l’angolo solido totale è sempre 
. Una carica esterna invece dà flusso nullo: le sue linee entrano ed escono. Per sovrapposizione si ottiene il caso generale. In forma locale, con il teorema della divergenza di Analisi 2: 
.
Come si usa: le simmetrie
La legge di Gauss vale sempre, ma serve a calcolare il campo solo quando la simmetria permette di scegliere una superficie su cui 
è costante e parallelo (o perpendicolare) alla normale.
Sfera carica uniformemente (carica 
, raggio 
). Fuori: con una sfera di raggio 
, 
, quindi il campo è lo stesso di una carica puntiforme. Dentro: la carica racchiusa è 
, e 
, che cresce linearmente dal centro.
Filo infinito con densità lineare 
. Superficie: un cilindro coassiale di raggio e lunghezza 
. Il flusso passa solo dalla superficie laterale: 
, quindi
![\[ E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f87a13c1aecc9f04d14148dea4278951_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il campo cala come 
, non .
Piano infinito con densità superficiale 
. Superficie: un cilindretto che attraversa il piano, con basi di area 
. Il flusso passa solo dalle due basi: 
, quindi
![\[ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fbede756c30847b063fae1e2e7a0edb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
indipendente dalla distanza. Con due piani paralleli di carica opposta i campi si sommano tra i piani e si annullano fuori: 
all’interno. È il condensatore piano della lezione sui condensatori.
I conduttori in equilibrio
In un conduttore in equilibrio le cariche sono ferme, quindi il campo all’interno è nullo (altrimenti gli elettroni si muoverebbero). Dalla legge di Gauss, applicata a una superficie appena dentro il conduttore, segue che tutta la carica sta sulla superficie. Appena fuori, il campo è perpendicolare alla superficie e vale 
.
Due conseguenze pratiche:
- la gabbia di Faraday: dentro un involucro conduttore chiuso il campo elettrico esterno non entra. È il principio degli schermi metallici dei circuiti a radiofrequenza, dei cavi schermati e del motivo per cui in auto si è protetti dai fulmini;
- l’effetto punta: la densità di carica, e quindi il campo, è più alta dove la superficie è più curva. Sulle punte il campo può ionizzare l’aria: è il principio del parafulmine.
