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Fisica 2

Condensatori: capacità, energia e dielettrici

Capacità e condensatore piano con dimostrazione, serie e parallelo, energia immagazzinata, dielettrici e polarizzazione con tabella dei materiali, condensatori reali.

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Il condensatore è il componente che immagazzina carica ed energia nel campo elettrico. Su una scheda elettronica ce ne sono decine o centinaia: per filtrare l’alimentazione, accoppiare stadi, temporizzare, sintonizzare. In questa lezione vediamo la capacità, il condensatore piano, i collegamenti in serie e in parallelo, l’energia immagazzinata e il ruolo del dielettrico.

La capacità

Due conduttori isolati tra loro, con cariche +Q e -Q, hanno una differenza di potenziale V proporzionale a Q. Il rapporto è la capacità:

    \[ C = \frac{Q}{V}\qquad[\text{F} = \text{C/V}] \]

Dipende solo dalla geometria e dal materiale tra i conduttori, non dalla carica. Il farad è un’unità enorme: i condensatori comuni vanno dai picofarad (pF) ai millifarad, e solo i supercondensatori arrivano a migliaia di farad.

Il condensatore piano

Condensatore piano con armature cariche e campo uniforme tra di esse
Due armature di area A a distanza d con densità di carica +σ e −σ: il campo tra di esse è uniforme e vale σ/ε₀; fuori è quasi nullo, a parte gli effetti di bordo (linee tratteggiate).

Dimostrazione della formula

Dalla legge di Gauss (lezione sul campo elettrico) il campo tra due piani con densità \pm\sigma è E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0 A), uniforme. La differenza di potenziale è V = E\,d = \frac{Q\,d}{\varepsilon_0 A}. Quindi

    \[ C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \]

La capacità cresce con l’area e diminuisce con la distanza. Esempio: due piastre di 10 cm × 10 cm a 1 mm in aria hanno C = 8{,}85\times 10^{-12}\cdot 0{,}01/0{,}001 \approx 88 pF. Per arrivare a 1 µF servirebbero piastre di 10 m di lato: è per questo che i condensatori reali usano dielettrici sottilissimi e ad alta costante dielettrica, avvolti o impilati.

Altre geometrie: il condensatore cilindrico (un cavo coassiale di lunghezza L) ha C = \frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}; il condensatore sferico C = 4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b - a}. Un cavo coassiale RG-58 ha circa 100 pF per metro.

Collegamenti in serie e in parallelo

  • Parallelo: stessa tensione, le cariche si sommano: C_{eq} = C_1 + C_2 + \dots È come aumentare l’area delle armature.
  • Serie: stessa carica su ogni condensatore, le tensioni si sommano: \frac{1}{C_{eq}} = \frac1{C_1} + \frac1{C_2} + \dots È come aumentare la distanza. Due condensatori uguali in serie hanno capacità dimezzata ma sopportano una tensione doppia.

Sono le regole opposte a quelle dei resistori.

L’energia immagazzinata

Per caricare un condensatore si porta carica da un’armatura all’altra contro la tensione che cresce. Quando la carica è q la tensione è q/C, e il lavoro per aggiungere dq è \frac qC\,dq. Integrando da 0 a Q:

    \[ U = \int_0^Q\frac qC\,dq = \frac{Q^2}{2C} = \frac12\,C\,V^2 \]

Per il condensatore piano, \frac12 CV^2 = \frac12\frac{\varepsilon_0 A}{d}(Ed)^2 = \frac12\varepsilon_0 E^2\cdot(Ad): la densità di energia \frac12\varepsilon_0E^2 per il volume tra le armature. L’energia sta davvero nel campo.

Esempio. Il condensatore del flash di una macchina fotografica, 470 µF caricato a 330 V, contiene \frac12\cdot 470\times 10^{-6}\cdot 330^2 \approx 26 J, scaricati nel tubo in un millisecondo: una potenza di picco di decine di kilowatt. È anche il motivo per cui i condensatori degli alimentatori vanno scaricati prima di metterci le mani.

I dielettrici

Inserendo un isolante tra le armature la capacità aumenta di un fattore \varepsilon_r, la costante dielettrica relativa:

    \[ C = \varepsilon_r\,\frac{\varepsilon_0 A}{d} \]

Il motivo è la polarizzazione: il campo orienta i dipoli delle molecole (o li crea, deformando gli atomi), e le cariche legate che compaiono sulle facce del dielettrico riducono il campo interno di un fattore \varepsilon_r. A parità di carica la tensione scende, quindi la capacità sale.

Materiale\varepsilon_rUso tipico
aria1,0006condensatori variabili
polipropilene2,2condensatori a film, audio e potenza
vetroresina FR-4circa 4,4circuiti stampati
ossido di alluminiocirca 9condensatori elettrolitici
ossido di tantaliocirca 26condensatori al tantalio
ceramiche al titanato di barioda 1000 a oltre 10 000condensatori ceramici multistrato

I condensatori reali

Un condensatore ceramico multistrato (MLCC) impila centinaia di strati di dielettrico spessi pochi micrometri, alternati a elettrodi, e così ottiene microfarad in un cubetto di un millimetro. Un elettrolitico usa come dielettrico uno strato di ossido di alluminio spesso nanometri, cresciuto su un foglio inciso per moltiplicarne l’area; per questo ha una polarità da rispettare.

Il condensatore reale non è ideale: ha una resistenza serie (ESR) e un’induttanza serie (ESL), e le ceramiche ad alta \varepsilon_r perdono buona parte della capacità quando si applica una tensione continua. Sono dettagli che si leggono nelle schede tecniche e che contano quando si progetta un alimentatore.

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