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Dispositivi Elettronici

Il MOSFET: soglia, equazione del canale e zone di lavoro

Struttura, condensatore MOS e inversione, equazione di triodo con dimostrazione, saturazione e legge quadratica, zone di lavoro, effetti del secondo ordine, pMOS e MOSFET di potenza.

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Il MOSFET (transistor a effetto di campo metallo-ossido-semiconduttore) è il dispositivo costruito in maggior numero nella storia dell’umanità: un processore moderno ne contiene decine di miliardi. Funziona in modo molto diverso dal BJT: la corrente scorre in un canale sottile vicino alla superficie, e la tensione del gate la controlla attraverso un isolante, senza assorbire corrente continua. In questa lezione ricaviamo le sue equazioni.

La struttura

In un substrato di tipo p (body, B) ci sono due zone n⁺ molto drogate, source (S) e drain (D). Tra le due, sopra la superficie, c’è uno strato sottilissimo di isolante (l’ossido di silicio, o materiali a costante dielettrica più alta) e sopra ancora l’elettrodo di gate (G). La distanza tra source e drain è la lunghezza di canale L, la dimensione perpendicolare al disegno è la larghezza W.

Sezione di un MOSFET a canale n con source, gate, drain e substrato
Nel substrato p ci sono le due zone n+ di source e drain. Sopra la zona tra le due, lunga L, c’è il sottile strato di ossido di spessore t_ox e sopra il gate. Con una tensione di gate sufficiente si forma sotto l’ossido un sottile canale di elettroni che collega source e drain.

Senza tensione sul gate, tra source e drain ci sono due giunzioni pn una contro l’altra: qualunque sia il segno di v_{DS}, una delle due è in inversa e non passa corrente.

Il condensatore MOS e la soglia

Gate, ossido e substrato formano un condensatore con capacità per unità di area C_{ox} = \varepsilon_{ox}/t_{ox}. Con t_{ox} = 2 nm, C_{ox} \approx 1{,}7 µF/cm².

Applicando al gate una tensione positiva:

  1. le lacune del substrato vengono respinte dalla superficie, e resta una regione svuotata con gli ioni accettori negativi;
  2. aumentando la tensione, la superficie attira anche elettroni (minoritari nel tipo p), che si accumulano in uno strato sottilissimo sotto l’ossido;
  3. oltre la tensione di soglia V_t gli elettroni in superficie diventano più numerosi delle lacune del substrato: la superficie si è invertita in tipo n, e questo strato collega source e drain. È il canale.

Oltre la soglia, ogni volt in più sul gate aggiunge al canale una carica per unità di area C_{ox}(v_{GS} - V_t): il gate e il canale sono le due armature del condensatore. Nei processi attuali V_t è tra 0,2 e 0,5 V circa.

L’equazione del MOSFET

Teorema. Per v_{GS} \gt V_t e v_{DS} \lt v_{GS} - V_t (zona di triodo), la corrente di drain è

    \[ i_D = \mu_n C_{ox}\frac{W}{L}\left[(v_{GS} - V_t)\,v_{DS} - \frac{v_{DS}^2}{2}\right] \]

Dimostrazione (approssimazione del canale graduale). Sia v(y) il potenziale del canale nel punto y, da 0 al source a v_{DS} al drain. In quel punto la tensione efficace tra gate e canale è v_{GS} - v(y), e la carica degli elettroni per unità di area è

    \[ Q_n(y) = -C_{ox}\left(v_{GS} - V_t - v(y)\right) \]

La corrente è di deriva lungo il canale ed è la stessa in ogni sezione: i_D = -W Q_n(y)\,\mu_n\,\frac{dv}{dy} (carica per larghezza per velocità, con v = \mu_n\,dv/dy). Separando le variabili e integrando da source a drain:

    \[ i_D\int_0^L dy = \mu_n C_{ox}W\int_0^{v_{DS}}\left(v_{GS} - V_t - v\right)dv \]

    \[ i_D L = \mu_n C_{ox}W\left[(v_{GS} - V_t)\,v_{DS} - \frac{v_{DS}^2}{2}\right] \]

che è la formula. ∎

La saturazione

La formula di triodo è una parabola in v_{DS} con il massimo in v_{DS} = v_{GS} - V_t. In quel punto la carica del canale al drain si annulla: il canale è strozzato (pinch-off). Aumentando ancora v_{DS}, il punto di strozzamento si sposta appena verso il source e la tensione in più cade sul piccolo tratto svuotato vicino al drain, che gli elettroni attraversano spinti dal campo. La corrente resta quella del massimo:

    \[ i_D = \frac12\,\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}\,(v_{GS} - V_t)^2 \qquad (v_{DS} \ge v_{GS} - V_t) \]

È la legge quadratica. La quantità v_{OV} = v_{GS} - V_t si chiama tensione di overdrive, e k_n' = \mu_n C_{ox} è il parametro di processo.

Caratteristiche d'uscita di un MOSFET con le zone di triodo e di saturazione
Corrente di drain in funzione della tensione drain-source per diverse tensioni di gate. La curva tratteggiata, dove la tensione drain-source è uguale all’overdrive, separa la zona di triodo a sinistra dalla zona di saturazione a destra, dove le curve sono quasi orizzontali.

Esempio. k_n'W/L = 2 mA/V², V_t = 0{,}5 V, v_{GS} = 1 V: in saturazione i_D = \frac12\cdot 2\cdot 0{,}5^2 = 0{,}25 mA. Con v_{DS} molto piccola, invece, il termine quadratico si trascura e il transistor è una resistenza controllata dal gate: R_{on} = 1/(k_n'(W/L)v_{OV}) = 1 kΩ.

Le zone di lavoro

ZonaCondizioneCorrenteUso
interdizionev_{GS} \lt V_tquasi nullainterruttore aperto
triodov_{DS} \lt v_{GS} - V_tformula di triodointerruttore chiuso, resistenza variabile
saturazionev_{DS} \ge v_{GS} - V_tlegge quadraticaamplificatore, generatore di corrente

Attenzione al nome: la “saturazione” del MOSFET corrisponde alla zona attiva del BJT, non alla sua saturazione.

Gli effetti del secondo ordine

  • Modulazione della lunghezza di canale. In saturazione il punto di strozzamento si sposta e il canale efficace si accorcia un po’: i_D cresce leggermente con v_{DS}, come nell’effetto Early, e si scrive i_D(1 + \lambda v_{DS}). La resistenza d’uscita è r_o = 1/(\lambda I_D).
  • Effetto body. Se il source non è al potenziale del substrato, la soglia aumenta.
  • Conduzione sotto soglia. Sotto V_t la corrente non è zero ma cala in modo esponenziale, al meglio di un fattore 10 ogni 60 mV. Per questo la soglia non si può abbassare quanto si vorrebbe: miliardi di transistor “spenti” perderebbero troppa corrente.
  • Canale corto. Nei transistor moderni, con L di poche decine di nanometri, la velocità satura e la legge quadratica diventa quasi lineare in v_{OV}.

Varianti

  • Il pMOS ha substrato n, source e drain p⁺, canale di lacune: tensioni e correnti hanno segno opposto e, a parità di dimensioni, conduce circa la metà a causa della mobilità più bassa delle lacune.
  • I MOSFET a svuotamento hanno un canale già presente a v_{GS} = 0 e soglia negativa.
  • I MOSFET di potenza hanno strutture verticali con migliaia di celle in parallelo e una resistenza in conduzione R_{DS(on)} di pochi milliohm: commutano decine di ampere negli alimentatori e negli azionamenti dei motori.

Il gate isolato è il grande vantaggio del MOSFET: in continua non assorbe corrente, quindi pilotarlo costa solo la carica della capacità di gate. È anche il suo punto debole: l’ossido è sottilissimo, e una scarica elettrostatica lo perfora. Per questo i circuiti integrati hanno i diodi di protezione visti nella lezione sui circuiti con diodi.

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