Vai al contenuto
Elettrotecnica

Transitori nei circuiti RC e RL del primo ordine

L'equazione del primo ordine, la soluzione generale con costante di tempo, valori iniziale e finale, esempio, sovratensione all'apertura di un induttore e circuiti del secondo ordine.

3 min di lettura 0 commenti

Quando in un circuito con condensatori o induttori si chiude un interruttore, o un segnale cambia di colpo, le grandezze non passano istantaneamente al nuovo valore: c’è un transitorio, governato dall’energia immagazzinata. In questa lezione vediamo il metodo generale per i circuiti del primo ordine (un solo componente con memoria), che permette di scrivere la soluzione quasi senza calcoli, e un cenno ai circuiti del secondo ordine.

Il circuito del primo ordine

Un circuito del primo ordine contiene un solo condensatore o un solo induttore, più resistori e generatori costanti. Applicando il teorema di Thevenin al resto del circuito, visto dai capi del componente con memoria, ci si riduce sempre a un generatore V_{th} con una resistenza R_{th} collegati al condensatore (o all’induttore).

Per il condensatore: V_{th} = R_{th}\,C\,\frac{dv}{dt} + v, un’equazione differenziale lineare del primo ordine (Analisi 2). Per l’induttore, con l’equivalente di Norton, si ottiene la stessa forma per la corrente.

La soluzione generale

Qualsiasi grandezza x(t) di un circuito del primo ordine con generatori costanti, dopo la commutazione a t = 0, vale

    \[ x(t) = x(\infty) + \big[x(0^+) - x(\infty)\big]\,e^{-t/\tau} \]

Risposta di un circuito del primo ordine tra il valore iniziale e il valore finale con la costante di tempo
Ogni grandezza parte dal valore x(0⁺) e tende esponenzialmente al valore finale x(∞). La tangente nell’origine raggiunge il valore finale dopo un tempo τ; dopo 5τ il transitorio è praticamente esaurito.

Servono solo tre numeri:

  1. il valore iniziale x(0^+), subito dopo la commutazione;
  2. il valore finale x(\infty), a regime;
  3. la costante di tempo \tau.

Come si trovano i tre numeri

Il valore iniziale. Si usa la continuità: la tensione sul condensatore e la corrente nell’induttore non possono saltare, quindi v_C(0^+) = v_C(0^-) e i_L(0^+) = i_L(0^-). Le altre grandezze (correnti nei resistori, tensione sull’induttore) possono saltare: si calcolano a t = 0^+ sostituendo il condensatore con un generatore di tensione v_C(0) e l’induttore con un generatore di corrente i_L(0).

Il valore finale. A regime, con generatori costanti, nulla cambia: il condensatore è un circuito aperto, l’induttore un cortocircuito. Si risolve il circuito resistivo che rimane.

La costante di tempo. Si spengono i generatori indipendenti e si calcola la resistenza R_{th} vista dai capi del componente con memoria:

    \[ \tau = R_{th}\,C\qquad\text{oppure}\qquad \tau = \frac{L}{R_{th}} \]

Esempio

Un condensatore da 10 µF, scarico, è collegato tramite un interruttore a un partitore: generatore da 12 V, R_1 = 2 kΩ in serie, R_2 = 3 kΩ in parallelo al condensatore. A t = 0 si chiude l’interruttore. Quanto vale la tensione sul condensatore?

  • Iniziale: v_C(0^+) = v_C(0^-) = 0.
  • Finale: a regime il condensatore è aperto e la tensione è quella del partitore, 12\cdot 3/5 = 7{,}2 V.
  • Costante di tempo: spento il generatore, il condensatore vede R_1\parallel R_2 = 1{,}2 kΩ, quindi \tau = 1{,}2\cdot 10^3\cdot 10\cdot 10^{-6} = 12 ms.

    \[ v_C(t) = 7{,}2\big(1 - e^{-t/12\,\text{ms}}\big)\ \text{V} \]

Dopo 12 ms il condensatore è a 4,55 V (63% del finale), dopo 60 ms a 7,15 V. Nessuna equazione differenziale da risolvere.

L’interruttore che si apre su un induttore

Un relè ha una bobina con L = 0{,}1 H e resistenza 50 Ω, alimentata a 12 V: a regime circolano 240 mA. Se un transistor interrompe la corrente di colpo, la corrente nell’induttore non può saltare: per continuare a scorrere deve trovare una strada, e la tensione sale finché non la trova, rompendo il transistor. Con un diodo di ricircolo in parallelo alla bobina la corrente continua a girare nel diodo e si esaurisce con costante di tempo L/R = 2 ms. È l’applicazione più importante della continuità della corrente negli induttori.

Ingressi che non sono gradini

Con un’onda quadra in ingresso il metodo si applica a ogni fronte, ripartendo ogni volta dal valore raggiunto. Se il periodo è molto più lungo di \tau l’uscita di un circuito RC segue l’ingresso con i fronti arrotondati; se è molto più corto, il condensatore non fa in tempo a caricarsi e l’uscita diventa un’onda triangolare quasi piatta attorno al valore medio: il circuito RC integra. Scambiando le posizioni di R e C l’uscita presa sul resistore mostra solo i fronti: il circuito deriva. Sono i due comportamenti limite dei filtri passa basso e passa alto della lezione sulla risposta in frequenza.

Il secondo ordine

Con un condensatore e un induttore insieme (circuito RLC) l’equazione diventa del secondo ordine. Il comportamento dipende dal coefficiente di smorzamento \zeta = \frac R2\sqrt{\frac CL} (per l’RLC serie): sovrasmorzato, critico o oscillante. Le soluzioni e i grafici sono nelle lezioni di Analisi 2 sulle equazioni differenziali e di Metodi matematici sulle applicazioni della trasformata di Laplace, che è lo strumento più comodo quando i circuiti diventano più complessi.

Articoli correlati

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x