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Elettronica di Potenza

Convertitori DC-DC: bilanci volt-secondo, buck-boost e ondulazioni

Bilancio volt-secondo e di carica dimostrati, rapporto del buck-boost, ondulazione di corrente e di tensione dimostrata con esempio, conduzione discontinua, rettificazione sincrona, limiti reali.

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Il corso di Elettronica applicata ha mostrato il convertitore buck e il boost. Qui vediamo il metodo che permette di analizzare qualsiasi convertitore a commutazione in poche righe: i bilanci volt-secondo e di carica in regime stazionario, con la dimostrazione. Lo applichiamo al convertitore buck-boost, calcoliamo l’ondulazione di corrente e di tensione con la dimostrazione, il confine tra conduzione continua e discontinua, e vediamo la rettificazione sincrona e i limiti reali del rapporto di conversione.

I due principi del regime stazionario

In regime stazionario ogni grandezza del convertitore si ripete identica a ogni periodo di commutazione T_s.

Teorema. In regime stazionario periodico:

  • bilancio volt-secondo: il valor medio della tensione su ogni induttore è nullo, \langle v_L\rangle = 0;
  • bilancio di carica: il valor medio della corrente in ogni condensatore è nullo, \langle i_C\rangle = 0.

Dimostrazione. Per l’induttore v_L = L\,di_L/dt. Integrando su un periodo: \int_0^{T_s}v_L\,dt = L\,[i_L(T_s) - i_L(0)]. In regime periodico i_L(T_s) = i_L(0), quindi l’integrale, e con esso il valor medio, è nullo. Per il condensatore, con i_C = C\,dv_C/dt, lo stesso ragionamento sulla tensione. ∎

Se il valor medio della tensione sull’induttore non fosse nullo, la corrente crescerebbe o diminuirebbe di un po’ a ogni periodo: non sarebbe ancora un regime. Questi due principi bastano a ricavare il rapporto di conversione di qualunque convertitore.

Il convertitore buck-boost

Convertitore buck-boost e corrente nell'induttore
Con l’interruttore chiuso l’induttore L si carica dalla sorgente e la sua corrente cresce; con l’interruttore aperto si scarica attraverso il diodo D sul condensatore e sul carico, producendo una tensione d’uscita di segno opposto all’ingresso.

Con l’interruttore chiuso per una frazione D del periodo (il ciclo di lavoro), l’induttore è collegato all’ingresso: v_L = V_{in}. Con l’interruttore aperto la corrente dell’induttore passa per il diodo verso l’uscita: v_L = V_o, dove V_o è negativa.

Teorema. In conduzione continua il rapporto di conversione del buck-boost è

    \[ \frac{V_o}{V_{in}} = -\frac{D}{1 - D} \]

Dimostrazione. Per il bilancio volt-secondo D\,V_{in} + (1 - D)\,V_o = 0, da cui la formula. ∎

Il modulo dell’uscita può essere minore dell’ingresso (D \lt 0{,}5) o maggiore (D \gt 0{,}5), con polarità invertita. Con lo stesso metodo si ritrovano in una riga il buck (D\,(V_{in} - V_o) + (1 - D)(-V_o) = 0, quindi V_o = D\,V_{in}) e il boost (V_o = V_{in}/(1 - D)).

Le ondulazioni

Corrente. Durante l’accensione la corrente nell’induttore cresce con pendenza V_{in}/L per un tempo DT_s: l’ondulazione picco-picco è

    \[ \Delta I_L = \frac{V_{in}\,D}{L\,f_s} \]

Raddoppiare la frequenza dimezza l’induttanza necessaria a parità di ondulazione: ecco il vantaggio delle alte frequenze, pagato con le perdite di commutazione (lezione sui dispositivi).

Tensione. Nel buck la corrente dell’induttore va al condensatore e al carico; il condensatore assorbe solo la parte variabile, un’onda triangolare di ampiezza picco-picco \Delta I_L.

Teorema. L’ondulazione picco-picco della tensione d’uscita del buck è

    \[ \Delta V_o = \frac{\Delta I_L}{8\,C\,f_s} \]

Dimostrazione. La corrente nel condensatore è positiva per metà periodo, durante il quale la sua forma è un triangolo di base T_s/2 e altezza \Delta I_L/2. La carica accumulata è l’area del triangolo, \Delta Q = \frac{1}{2}\cdot\frac{T_s}{2}\cdot\frac{\Delta I_L}{2} = \frac{T_s\,\Delta I_L}{8}, e l’ondulazione di tensione è \Delta Q/C. ∎

Esempio. Un buck da 12 a 3,3 V a 500 kHz con L = 4{,}7 µH: D \approx 0{,}275 e, poiché nel buck durante l’accensione l’induttore vede V_{in} - V_o, \Delta I_L = (12 - 3{,}3)\cdot 0{,}275/(4{,}7\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^5) \approx 1{,}0 A. Con C = 22 µF, \Delta V_o \approx 1{,}0/(8\cdot 22\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^5) \approx 11 mV. Nella pratica conta anche la resistenza serie del condensatore, che aggiunge R_{ESR}\,\Delta I_L: per questo si usano condensatori ceramici.

Conduzione continua e discontinua

Se il carico assorbe poca corrente, il minimo dell’onda triangolare scende a zero, e il diodo impedisce alla corrente di diventare negativa: per una parte del periodo l’induttore resta scarico. È la conduzione discontinua (DCM), in cui i rapporti di conversione ricavati sopra non valgono più e l’uscita dipende anche dal carico. Il confine è dove il minimo della corrente tocca lo zero, cioè dove la corrente media nell’induttore vale \Delta I_L/2. Per il buck, con corrente media uguale a quella del carico V_o/R, il confine dà un’induttanza critica L_{crit} = (1 - D)R/(2f_s). I convertitori a basso carico (in standby) lavorano spesso apposta in DCM o a impulsi, per ridurre le perdite.

Rettificazione sincrona e limiti reali

Il diodo di libera circolazione ha una caduta di 0,4-0,8 V: con un’uscita di 1 V, come quella che alimenta un processore, perderebbe quasi metà della potenza. Lo si sostituisce con un secondo MOSFET comandato in opposizione al primo: la rettificazione sincrona, con perdite R_{DS(on)}I^2 molto minori. Il prezzo è un pilotaggio più complesso con il tempo morto.

Le resistenze dell’induttore e degli interruttori limitano il rapporto di conversione reale: nel boost la formula ideale 1/(1 - D) diverge per D \to 1, ma nella realtà l’uscita raggiunge un massimo e poi crolla, perché la corrente d’ingresso diventa enorme e le cadute resistive prevalgono. Per questo i rapporti molto elevati si ottengono con i convertitori isolati con trasformatore (lezione dedicata).

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