Regime sinusoidale: fasori e impedenza
Perché le sinusoidi, il fasore e le operazioni, impedenza e ammettenza di resistore, induttore e condensatore, un esempio completo e il metodo simbolico passo per passo.
https://www.electronics-engineering.com/articolo_4028-sinusoidi_e_numeri_complessi.htm
Le relazioni tra tensione e corrente nei bipoli valgono in ogni istante. Con grandezze costanti si scrivono con l’algebra; quando le grandezze variano nel tempo, condensatori e induttori introducono derivate, e le equazioni del circuito diventano differenziali. C’è però un caso, il più importante di tutti, in cui si torna all’algebra: quando tutti i generatori sono sinusoidali con la stessa frequenza e il circuito ha raggiunto il regime. Con i numeri complessi, i fasori, le derivate diventano moltiplicazioni e tutti i metodi dei circuiti resistivi tornano validi. È il linguaggio della rete elettrica a 50 Hz, dell’audio e della radio.
Perché proprio le sinusoidi
In un circuito lineare, se tutti i generatori sono sinusoidali con pulsazione 
, a regime tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidi con la stessa pulsazione: cambiano solo l’ampiezza e la fase. Il motivo è che derivare o integrare una sinusoide dà ancora una sinusoide della stessa frequenza, sfasata di 90°. Inoltre, per la serie e la trasformata di Fourier, qualsiasi segnale è una somma di sinusoidi: studiare la risposta a una sinusoide di frequenza qualsiasi vuol dire saper calcolare la risposta a qualsiasi segnale.
Il fasore
Una sinusoide 
è determinata, una volta nota , da due numeri: ampiezza e fase. Si raccolgono in un unico numero complesso, il fasore:
![\[ \bar V = V\,e^{j\varphi} = V\angle\varphi,\qquad v(t) = \sqrt2\,\operatorname{Re}\{\bar V e^{j\omega t}\} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3aa82968b5e96a56239ae6033481a741_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In elettrotecnica si usa la lettera 
per l’unità immaginaria (la 
è riservata alla corrente) e il modulo del fasore è di solito il valore efficace 
, così che le formule delle potenze non abbiano fattori 
.
Le operazioni. Sommare sinusoidi della stessa frequenza vuol dire sommare i fasori come vettori, con la regola del parallelogramma. Derivare vuol dire moltiplicare il fasore per 
(ampiezza per , fase avanti di 90°); integrare vuol dire dividere per .
Esempio. 
e 
: i fasori sono 
e 
, la somma 
, cioè 
. Sommare le ampiezze avrebbe dato 20: sbagliato, perché i massimi non arrivano nello stesso istante.
Impedenza e ammettenza
Per ogni bipolo il rapporto tra fasore della tensione e fasore della corrente è l’impedenza:
![\[ \bar Z = \frac{\bar V}{\bar I} = R + jX \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76b92617730eb55bb59eacc317a19347_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
| Bipolo | Impedenza | Sfasamento tensione-corrente |
|---|---|---|
| resistore |  | 0 |
| induttore |  | +90° (la tensione anticipa) |
| condensatore |  | −90° (la tensione ritarda) |
La parte reale è la resistenza, la parte immaginaria 
la reattanza: positiva per un comportamento induttivo, negativa per uno capacitivo. L’inverso dell’impedenza è l’ammettenza 
, comoda per i collegamenti in parallelo.
Con le impedenze valgono tutti i risultati dei circuiti resistivi: leggi di Kirchhoff per i fasori, serie e parallelo, partitori, analisi nodale, sovrapposizione, Thevenin e Norton. Basta lavorare con numeri complessi.
Esempio completo
Un generatore da 230 V a 50 Hz alimenta una resistenza 
Ω in serie con un induttore 
mH. La reattanza è 
Ω, quindi
![\[ \bar Z = 30 + 40j = 50\angle 53{,}1°\ \Omega \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d773231674f7c3c71a20e39d35236db3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La corrente ha valore efficace 
A ed è in ritardo di 53,1° rispetto alla tensione:
![\[ \bar I = \frac{230\angle 0°}{50\angle 53{,}1°} = 4{,}6\angle{-53{,}1°}\ \text{A} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22bf2c2b967a6b1838e7096957c2f381_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Le tensioni sui componenti sono 
V e 
V. Sommate in modulo darebbero 322 V, più dei 230 V del generatore: sembra un paradosso, ma i due fasori sono sfasati di 90°, e infatti 
.
Il metodo in pratica
- Si sceglie un riferimento di fase (di solito un generatore a fase zero).
- Si sostituiscono i generatori con i loro fasori e i componenti con le loro impedenze alla pulsazione .
- Si risolve il circuito con i metodi dei circuiti resistivi, in aritmetica complessa.
- Si torna nel tempo:
diventa 
.
Attenzione: il metodo vale solo a regime e con generatori della stessa frequenza. Con frequenze diverse si risolve un circuito per ogni frequenza e si sommano i risultati nel tempo (sovrapposizione), mai i fasori. Per i transitori servono i metodi della lezione precedente o la trasformata di Laplace.
Le lezioni successive applicano questo metodo alla potenza in regime sinusoidale, alla risposta in frequenza e ai sistemi trifase.
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