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Elettrotecnica

Risposta in frequenza, filtri RC, diagrammi di Bode e risonanza

Funzione di risposta in frequenza, filtro passa basso e passa alto RC, decibel e diagrammi di Bode, filtri di ordine superiore, risonanza e passa banda.

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Un circuito con condensatori e induttori risponde in modo diverso alle diverse frequenze: lascia passare alcune componenti di un segnale e ne attenua altre. È il principio dei filtri, presenti in ogni apparecchio elettronico: separano il segnale dal rumore, eliminano il ronzio a 50 Hz, selezionano una stazione radio, proteggono un convertitore dall’aliasing. In questa lezione vediamo la funzione di risposta in frequenza, i diagrammi di Bode, i filtri del primo ordine e la risonanza.

La risposta in frequenza

Con il metodo dei fasori, il rapporto tra il fasore dell’uscita e quello dell’ingresso di un circuito è una funzione della pulsazione:

    \[ H(j\omega) = \frac{\bar V_{out}}{\bar V_{in}} \]

È la funzione di trasferimento di Laplace calcolata in s = j\omega (lezione di Metodi matematici). Il modulo |H| dice di quanto viene amplificata o attenuata ogni frequenza, l’argomento di quanto viene sfasata.

Il filtro passa basso RC

Con l’uscita presa sul condensatore, per il partitore delle impedenze:

    \[ H(j\omega) = \frac{1/(j\omega C)}{R + 1/(j\omega C)} = \frac{1}{1 + j\omega RC} = \frac{1}{1 + j\,\omega/\omega_0},\qquad \omega_0 = \frac{1}{RC} \]

    \[ |H| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^2}},\qquad \arg H = -\arctan\frac{\omega}{\omega_0} \]

  • a bassa frequenza (\omega \ll \omega_0) il condensatore è quasi un circuito aperto: |H| \approx 1, il segnale passa;
  • ad alta frequenza il condensatore è quasi un cortocircuito: |H| \approx \omega_0/\omega, il segnale viene attenuato;
  • alla frequenza di taglio \omega_0, |H| = 1/\sqrt2 e lo sfasamento è −45°.

Esempio. Con R = 1{,}6 kΩ e C = 100 nF, f_0 = \frac{1}{2\pi RC} \approx 1 kHz.

I diagrammi di Bode

Si disegnano il modulo in decibel, 20\log_{10}|H|, e la fase, entrambi in funzione della frequenza in scala logaritmica. Le scale logaritmiche trasformano prodotti in somme, e i diagrammi di circuiti complessi si costruiscono sommando quelli dei pezzi.

Diagrammi di Bode del modulo e della fase di un filtro passa basso RC
Il modulo è piatto a 0 dB fino alla frequenza di taglio, dove vale −3 dB, poi scende di 20 dB per decade. La fase passa da 0° a −90°, con −45° alla frequenza di taglio. Le linee tratteggiate sono gli asintoti.

Per il passa basso del primo ordine:

  • sotto \omega_0 il modulo è circa 0 dB;
  • sopra \omega_0 scende di 20 dB per decade (a dieci volte la frequenza il segnale è dieci volte più piccolo);
  • in \omega_0 l’errore rispetto agli asintoti è il massimo, −3 dB (metà della potenza).

I decibel servono anche perché le catene di stadi si sommano: un amplificatore da +40 dB seguito da un filtro che attenua di 20 dB dà +20 dB complessivi.

Il passa alto

Scambiando R e C (uscita sul resistore):

    \[ H(j\omega) = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC} \]

Blocca la continua e le basse frequenze e lascia passare le alte, con pendenza di +20 dB/decade sotto il taglio. È il condensatore di accoppiamento tra due stadi di amplificazione: lascia passare il segnale audio e blocca la tensione continua di polarizzazione. Va dimensionato in modo che il taglio stia sotto la frequenza più bassa da trasmettere (20 Hz per l’audio).

I filtri di ordine superiore

Un filtro del primo ordine separa male due frequenze vicine: 20 dB per decade sono pochi. Mettendo in cascata più stadi, o usando induttori e condensatori insieme, si ottengono filtri di ordine n con pendenza 20n dB/decade. Le famiglie classiche scelgono la forma della risposta con diversi compromessi:

  • Butterworth: risposta la più piatta possibile in banda passante;
  • Chebyshev: transizione più ripida, con un’ondulazione in banda;
  • Bessel: fase quasi lineare, quindi forma d’onda conservata (adatto agli impulsi).

Con gli amplificatori operazionali si realizzano filtri attivi senza induttori, ed è così che sono fatti quasi tutti i filtri sotto qualche megahertz.

La risonanza

Nel circuito RLC serie l’impedenza è R + j(\omega L - 1/(\omega C)): alla frequenza di risonanza \omega_r = 1/\sqrt{LC} le reattanze si annullano, l’impedenza è minima e la corrente massima (lezione di Fisica 2 sulla corrente alternata). Prendendo l’uscita sul resistore si ottiene un passa banda, centrato in \omega_r, con larghezza di banda \Delta\omega = R/L e fattore di qualità Q = \omega_r/\Delta\omega. Il circuito LC parallelo si comporta al contrario: alla risonanza ha impedenza massima, ed è il circuito di sintonia degli oscillatori e dei ricevitori radio.

Filtri e segnali

Per la sovrapposizione, un filtro tratta ogni componente di Fourier di un segnale separatamente. Un’onda quadra a 1 kHz attraverso un passa basso con taglio a 1 kHz perde gran parte delle armoniche alte (3, 5, 7 kHz…) e diventa quasi una sinusoide: il circuito RC che “arrotonda” i fronti nella lezione sui transitori è lo stesso fenomeno visto in frequenza.

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