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Fisica 2

Circuiti in corrente alternata: fasori, impedenza e risonanza

Valore efficace, fasori e numeri complessi, impedenza di resistori, condensatori e induttori, circuito RLC serie, risonanza e fattore di qualità, potenza e fattore di potenza.

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La rete elettrica, i segnali audio e quelli radio sono tensioni sinusoidali. Studiare un circuito con resistenze, condensatori e induttori in regime sinusoidale con le equazioni differenziali è possibile ma lungo. Il metodo dei fasori, che usa i numeri complessi di Analisi 1, trasforma le derivate in moltiplicazioni e il circuito in un problema di legge di Ohm. In questa lezione vediamo valori efficaci, fasori, impedenza, il circuito RLC serie con la risonanza e la potenza in alternata.

Grandezze sinusoidali e valore efficace

Una tensione sinusoidale si scrive v(t) = V_0\cos(\omega t + \varphi), con ampiezza V_0, pulsazione \omega = 2\pi f e fase \varphi. Il suo valore medio è zero, quindi per misurarne “l’intensità” si usa il valore efficace (RMS): il valore della tensione continua che dissiperebbe la stessa potenza media in una resistenza.

    \[ V_{eff} = \sqrt{\frac1T\int_0^T v^2\,dt} = \frac{V_0}{\sqrt2} \]

perché la media di \cos^2 su un periodo è \tfrac12. I 230 V della rete sono valori efficaci: l’ampiezza è 230\sqrt2 \approx 325 V.

I fasori

Con la formula di Eulero, V_0\cos(\omega t + \varphi) = \operatorname{Re}\{V_0e^{i\varphi}\,e^{i\omega t}\}. In un circuito lineare tutte le grandezze oscillano alla stessa frequenza \omega, quindi il fattore e^{i\omega t} è comune e si può sottintendere. Resta il numero complesso

    \[ \mathbf V = V_0\,e^{i\varphi} \]

il fasore, che contiene ampiezza e fase. Il vantaggio è enorme: derivare rispetto al tempo diventa moltiplicare per i\omega, perché \frac{d}{dt}e^{i\omega t} = i\omega\,e^{i\omega t}. Le equazioni differenziali del circuito diventano equazioni algebriche.

L’impedenza

Per ciascun componente il rapporto tra fasore della tensione e fasore della corrente è l’impedenza Z:

ComponenteLegge nel tempoImpedenzaFase tra v e i
resistorev = RiZ_R = Rin fase
induttorev = L\,di/dtZ_L = i\omega Lv anticipa di 90°
condensatorei = C\,dv/dtZ_C = \dfrac{1}{i\omega C}v ritarda di 90°

Con le impedenze valgono la legge di Ohm \mathbf V = Z\mathbf I, le leggi di Kirchhoff e le regole di serie e parallelo, esattamente come per i resistori in continua. L’induttore ha impedenza che cresce con la frequenza (blocca le alte frequenze), il condensatore che diminuisce (blocca la continua): è il principio di tutti i filtri.

Esempio. Un condensatore da 1 µF a 50 Hz ha |Z_C| = \frac{1}{2\pi\cdot 50\cdot 10^{-6}} \approx 3{,}2 kΩ; a 1 MHz solo 0,16 Ω. Per questo i condensatori di disaccoppiamento vicino ai chip “cortocircuitano” a massa i disturbi ad alta frequenza senza toccare l’alimentazione continua.

Il circuito RLC serie

Con R, L e C in serie, l’impedenza totale è

    \[ Z = R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right),\qquad |Z| = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2},\qquad \tan\varphi = \frac{\omega L - 1/(\omega C)}{R} \]

Diagramma dei fasori di un circuito RLC serie
La corrente I è comune ai tre componenti. La tensione sulla resistenza è in fase con I, quella sull’induttanza è avanti di 90°, quella sul condensatore indietro di 90°. La tensione totale V è la somma vettoriale, sfasata dell’angolo φ rispetto alla corrente.

La risonanza

Le reattanze di induttore e condensatore hanno segno opposto e si compensano quando

    \[ \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} \quad\Rightarrow\quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Alla frequenza di risonanza l’impedenza è minima e uguale a R, la corrente è massima e in fase con la tensione. Le tensioni sull’induttore e sul condensatore possono essere molto più grandi di quella applicata, perché sono opposte e si cancellano a vicenda: il loro rapporto con la tensione applicata è il fattore di qualità Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac1R\sqrt{\frac LC}.

La banda passante, l’intervallo di frequenze in cui la potenza è almeno metà di quella massima, è \Delta\omega = R/L, cioè \Delta f = f_0/Q. Un circuito con Q alto seleziona una banda stretta: è il circuito di sintonia di una radio. Esempio: con L = 10 µH e C = 253 pF, f_0 \approx 3{,}16 MHz; con R = 2 Ω, Q \approx 99 e la banda è di circa 32 kHz.

La potenza in alternata

La potenza istantanea v(t)\,i(t) oscilla. La sua media, la potenza attiva, è

    \[ P = V_{eff}\,I_{eff}\cos\varphi \]

\cos\varphi è il fattore di potenza. In un resistore \varphi = 0 e tutta la potenza è dissipata. In un induttore o condensatore ideale \varphi = \pm 90° e la potenza media è nulla: l’energia entra e torna indietro due volte per periodo, senza essere consumata. La parte che fa la spola è la potenza reattiva, Q = V_{eff}I_{eff}\sin\varphi, misurata in VAR.

Un carico con basso fattore di potenza, come un motore a induzione non rifasato, assorbe più corrente di quella che servirebbe per la stessa potenza attiva, e fa scaldare inutilmente cavi e trasformatori. Per questo i grandi utenti devono rifasare con batterie di condensatori, e gli alimentatori sopra una certa potenza hanno un circuito di correzione del fattore di potenza (PFC).

Il trasferimento di potenza

Con un generatore di impedenza interna Z_s = R_s + iX_s, il carico riceve la massima potenza quando Z_L = R_s - iX_s, il complesso coniugato: le reattanze si annullano (risonanza) e le resistenze sono uguali. È il principio dell’adattamento di impedenza, fondamentale nei circuiti a radiofrequenza, dove antenne, cavi e amplificatori sono tutti adattati a 50 Ω.

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