Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche
Corrente di spostamento, le quattro equazioni in forma integrale e locale, equazione delle onde e velocità della luce, vettore di Poynting e spettro elettromagnetico.
Nel 1865 Maxwell riunì tutto l’elettromagnetismo in quattro equazioni, aggiunse un termine mancante e scoprì che ne seguivano onde che viaggiano alla velocità della luce. La luce era un’onda elettromagnetica. Vent’anni dopo Hertz produsse e rivelò le onde radio in laboratorio; da lì nascono la radio, la televisione, il radar, il Wi-Fi e la telefonia mobile. Questa lezione chiude il percorso di Fisica 2.
La corrente di spostamento
La legge di Ampère, 
, ha un problema. Si pensi a un condensatore che si sta caricando. Una linea chiusa attorno al filo è il bordo sia di una superficie attraversata dal filo (con corrente 
) sia di una superficie “a sacco” che passa tra le armature (dove non scorre nessuna corrente). Le due scelte danno risultati diversi, ma il teorema di Stokes dice che non può dipendere dalla superficie.
Tra le armature però c’è un campo elettrico che cresce. Maxwell aggiunse alla corrente di conduzione la corrente di spostamento
![\[ I_s = \varepsilon_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c41d17e562745b0e6d03c4e7d176827_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per il condensatore piano, 
, quindi 
: esattamente la corrente del filo. La legge di Ampère corretta vale per qualunque superficie. Il significato fisico è profondo: un campo elettrico variabile genera un campo magnetico, come un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (Faraday).
Le equazioni di Maxwell
| Legge | Forma integrale | Forma locale | Significato |
|---|---|---|---|
| Gauss |  |  | le cariche sono sorgenti del campo elettrico |
| Gauss per il magnetismo |  |  | non esistono cariche magnetiche: le linee di B sono chiuse |
| Faraday |  |  | un B variabile genera E |
| Ampère-Maxwell |  |  | correnti ed E variabile generano B |
Il passaggio dalla forma integrale a quella locale si fa con i teoremi della divergenza e di Stokes di Analisi 2. Insieme alla forza di Lorentz, 
, queste equazioni descrivono tutti i fenomeni elettromagnetici classici: dai circuiti alle antenne, dai motori alle fibre ottiche.
Le onde elettromagnetiche
Nel vuoto, senza cariche né correnti, le equazioni diventano simmetriche: un 
variabile crea 
, un variabile crea . Combinando le due leggi dei rotori si ottiene, per ogni componente,
![\[ \nabla^2\vec E = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa80b86c3efeef9228f875e4b7a82bc6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È l’equazione delle onde, con velocità di propagazione
![\[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi\times 10^{-7}\cdot 8{,}854\times 10^{-12}}} \approx 3{,}00\times 10^8\ \text{m/s} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16d80ef1f82229d11aa905ebbd29f170_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Maxwell calcolò questo numero da costanti misurate con condensatori e bobine, e trovò la velocità della luce misurata dagli astronomi. Fu la prova che la luce è un’onda elettromagnetica.
Le proprietà di un’onda piana:
- e sono perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione (onda trasversale), e il prodotto
indica il verso di propagazione; - i loro moduli sono legati da
; - lunghezza d’onda e frequenza sono legate da
; - la direzione di oscillazione di è la polarizzazione.
Energia e vettore di Poynting
L’onda trasporta energia. La densità di energia è la somma di quella elettrica e magnetica, 
, che per un’onda sono uguali. Il flusso di energia per unità di area e di tempo è il vettore di Poynting
![\[ \vec S = \frac{1}{\mu_0}\,\vec E\times\vec B \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a8f3883fe319ca08ff3b880748a4690_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e il suo valore medio è l’intensità (W/m²). La luce del Sole arriva sulla Terra con circa 1360 W/m² sopra l’atmosfera. L’onda trasporta anche quantità di moto: la pressione di radiazione, minuscola sulla Terra, spinge le vele solari nello spazio.
Esempio. Un’antenna che irradia 1 W in modo uniforme in tutte le direzioni produce a 1 km un’intensità 
W/m², e un campo efficace 
mV/m. Basta a un buon ricevitore.
Lo spettro elettromagnetico
| Banda | Lunghezza d’onda | Esempi |
|---|---|---|
| onde radio | da km a cm | radio AM e FM, TV, telefonia, Wi-Fi a 2,4 e 5 GHz (12 e 6 cm) |
| microonde | da cm a mm | radar, forni a microonde, radar automobilistici a 77 GHz |
| infrarosso | da 1 mm a 780 nm | telecomandi, termocamere, fibre ottiche a 1550 nm |
| visibile | da 780 a 380 nm | luce, LED |
| ultravioletto | da 380 a 10 nm | sterilizzazione, fotolitografia dei chip |
| raggi X e gamma | sotto 10 nm | radiografie, astrofisica |
Sono tutte la stessa cosa, a frequenze diverse. La dimensione delle antenne è legata alla lunghezza d’onda: un’antenna a dipolo è lunga circa 
, cioè 6 cm per il Wi-Fi a 2,4 GHz. È per questo che i telefoni hanno antenne integrate di pochi centimetri, mentre le radio in onde medie avevano antenne lunghe decine di metri.
Le conseguenze
Le equazioni di Maxwell contenevano anche un problema: la velocità 
non dipende dal moto di chi la misura, in contrasto con la trasformazione di Galileo della Fisica 1. Fu Einstein, nel 1905, a risolverlo con la relatività ristretta, collegata come approfondimento a questa materia.
