Sovrapposizione, teoremi di Thevenin e Norton, massimo trasferimento di potenza
Principio di sovrapposizione, teorema di Thevenin con dimostrazione, Norton, massimo trasferimento di potenza con dimostrazione, equivalenti e misure.
I teoremi delle reti permettono di semplificare un circuito senza scrivere tutte le equazioni. Il più importante, il teorema di Thevenin, dice che qualsiasi rete lineare, per quanto complicata, vista da due morsetti si comporta come un generatore con una resistenza in serie. È così che un ingegnere pensa a un alimentatore, a un sensore, all’uscita di un amplificatore. In questa lezione vediamo la sovrapposizione degli effetti, i teoremi di Thevenin e Norton e il massimo trasferimento di potenza.
La sovrapposizione degli effetti
In un circuito lineare con più generatori indipendenti, ogni tensione e corrente è la somma dei contributi di ciascun generatore preso da solo, con gli altri spenti:
- un generatore di tensione spento diventa un cortocircuito (
); - un generatore di corrente spento diventa un circuito aperto (
).
Il motivo è che le equazioni del circuito sono lineari, e la soluzione di un sistema lineare dipende linearmente dai termini noti. Attenzione: la sovrapposizione vale per tensioni e correnti, non per le potenze, che sono quadratiche.
Esempio. Nel circuito dell’analisi nodale (lezione precedente) il contributo di 
a 
e quello di 
si possono calcolare separatamente e sommare: lo si verifica ritrovando 
V. È anche il modo di ragionare sui circuiti con più segnali: la componente continua e quella alternata di una tensione si analizzano separatamente.
Il teorema di Thevenin
Qualsiasi rete lineare vista da due morsetti A e B è equivalente a un generatore ideale di tensione 
in serie con una resistenza 
.
Come si calcolano:
- è la tensione a vuoto: la tensione tra A e B con i morsetti aperti;
- è la resistenza vista da A e B con tutti i generatori indipendenti spenti. Se ci sono generatori dipendenti, si applica un generatore di prova ai morsetti e si calcola il rapporto tensione su corrente.
Dimostrazione
Si collega ai morsetti un generatore di corrente di prova che preleva dalla rete la corrente 
, uscente dal morsetto A, e si calcola la tensione 
tra A e B. Per la sovrapposizione è la somma di due contributi. Il primo è quello dei generatori interni con il generatore di prova spento, cioè con i morsetti aperti: è la tensione a vuoto . Il secondo è quello del solo generatore di prova, con i generatori interni spenti: la rete diventa una resistenza da cui si preleva la corrente , e ai suoi capi compare 
. Quindi 
, che è esattamente la relazione di un generatore reale di tensione.
Esempio. Un partitore con 
V, 
kΩ, 
kΩ, visto dai capi di 
: 
V, 
kΩ. Collegando un carico da 2,67 kΩ la tensione scende a 2 V, a metà: è la ragione per cui il partitore funziona solo con carichi molto più grandi di .
Il teorema di Norton
È il duale: la stessa rete equivale a un generatore ideale di corrente 
in parallelo a , dove è la corrente di cortocircuito tra A e B. Le due forme sono legate da 
, ed è anche un modo comodo di trovare : rapporto tra tensione a vuoto e corrente di cortocircuito. In laboratorio si fa proprio così, con due misure, quando non si conosce l’interno della rete.
Il massimo trasferimento di potenza
Un generatore con resistenza interna alimenta un carico 
. La potenza sul carico è
![\[ P = \frac{V_{th}^2\,R_L}{(R_{th} + R_L)^2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-624f7a521c336dc055ff5563bc1041fd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione
Derivando rispetto a e ponendo uguale a zero:
![\[ \frac{dP}{dR_L} = V_{th}^2\,\frac{(R_{th} + R_L) - 2R_L}{(R_{th} + R_L)^3} = 0 \quad\Rightarrow\quad R_L = R_{th} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aca17081ef94cb287d1b562c4c677e47_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e la potenza massima vale 
.
Attenzione al rendimento. Con 
metà della potenza va nel carico e metà si dissipa nella resistenza interna: il rendimento è del 50%. Per questo l’adattamento si usa dove conta estrarre il massimo da una sorgente debole (un’antenna, un microfono, un pannello solare con l’inseguitore del punto di massima potenza), mai nella distribuzione dell’energia, dove si vuole un rendimento alto e quindi 
.
Equivalenti e misure
I teoremi di Thevenin e Norton spiegano molti fenomeni pratici: perché un voltmetro deve avere resistenza interna alta (per non caricare il circuito, deve essere molto più grande di visto dal punto di misura), perché un amperometro deve averla bassa, perché la tensione di un alimentatore cala sotto carico ( è la sua resistenza d’uscita), e perché nei datasheet di un sensore o di un amplificatore si trova sempre l’impedenza d’uscita.
