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Elettrotecnica

Analisi nodale e analisi alle maglie

Il metodo dei potenziali di nodo con esempio, la forma matriciale, l'analisi alle maglie, i generatori dipendenti e il controllo del bilancio delle potenze.

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Le leggi di Kirchhoff applicate a tutti i rami danno un sistema di 2r equazioni: troppe da scrivere a mano anche per un circuito modesto. I metodi sistematici riducono drasticamente le incognite scegliendo le grandezze giuste: le tensioni di nodo (analisi nodale) o le correnti di maglia (analisi alle maglie). L’analisi nodale, in particolare, è il metodo usato da SPICE e da tutti i simulatori.

L’analisi nodale

  1. Si sceglie un nodo di riferimento (la massa), a potenziale zero.
  2. Le incognite sono le tensioni di nodo v_1, v_2, \dots degli altri nodi rispetto al riferimento: sono n - 1.
  3. Si scrive la legge delle correnti in ogni nodo diverso dal riferimento, esprimendo ogni corrente con le tensioni di nodo: la corrente in un resistore tra i nodi a e b è (v_a - v_b)/R.
  4. Si risolve il sistema lineare.
Circuito con due nodi incogniti, un generatore di tensione, un generatore di corrente e quattro resistori
Il circuito ha tre nodi: il riferimento (massa) e i nodi con tensioni v₁ e v₂. Il generatore E fissa la tensione all’ingresso, J immette corrente nel nodo 2.

Esempio. Nel circuito della figura il generatore E è collegato tra la massa e l’estremo sinistro di R_1. Legge delle correnti al nodo 1 (correnti uscenti positive):

    \[ \frac{v_1 - E}{R_1} + \frac{v_1}{R_2} + \frac{v_1 - v_2}{R_3} = 0 \]

e al nodo 2, dove entra la corrente J:

    \[ \frac{v_2 - v_1}{R_3} + \frac{v_2}{R_4} = J \]

Con E = 10 V, J = 1 mA e tutti i resistori da 1 kΩ (correnti in mA e tensioni in V):

    \[ 3v_1 - v_2 = 10,\qquad -v_1 + 2v_2 = 1 \]

da cui v_1 = 4{,}2 V e v_2 = 2{,}6 V. Due equazioni invece delle dodici del metodo generale (6 rami).

La forma matriciale

Con soli resistori e generatori di corrente il sistema ha una struttura che si può scrivere “a occhio”:

    \[ G\,\mathbf v = \mathbf j \]

  • sulla diagonale, G_{kk} è la somma delle conduttanze collegate al nodo k;
  • fuori diagonale, G_{kh} è meno la conduttanza tra i nodi k e h;
  • j_k è la somma delle correnti dei generatori entranti nel nodo k.

La matrice G è simmetrica, a diagonale dominante e sparsa (ogni nodo è collegato a pochi altri): sono le proprietà che rendono veloce la soluzione con i metodi della lezione di Calcolo numerico sui sistemi lineari. I generatori di tensione si trattano trasformandoli in generatori di corrente (se hanno una resistenza in serie) oppure aggiungendo la loro corrente come incognita: è l’analisi nodale modificata (MNA) usata da SPICE.

L’analisi alle maglie

È il metodo duale, comodo per i circuiti piani con molti generatori di tensione.

  1. Si assegna a ogni maglia “a finestra” (le maglie che non ne contengono altre) una corrente di maglia fittizia che la percorre.
  2. La corrente in un ramo è la somma algebrica delle correnti delle maglie a cui appartiene.
  3. Si scrive la legge delle tensioni in ogni maglia.

Le incognite sono r - n + 1. Anche qui la matrice si scrive a occhio: sulla diagonale la somma delle resistenze della maglia, fuori diagonale meno le resistenze in comune.

Quale scegliere. Si conta: l’analisi nodale ha n - 1 incognite, quella alle maglie r - n + 1. Si sceglie quella con meno incognite, tenendo conto che i generatori di corrente semplificano l’analisi nodale e quelli di tensione l’analisi alle maglie.

I generatori dipendenti

Molti modelli di componenti elettronici (transistor, amplificatori operazionali) contengono generatori pilotati: la loro tensione o corrente dipende da un’altra grandezza del circuito. Per esempio il modello a piccoli segnali di un transistor bipolare contiene un generatore di corrente g_m v_{be}, proporzionale alla tensione tra base ed emettitore. Nell’analisi nodale si trattano come i generatori normali, poi si esprime la grandezza pilota con le tensioni di nodo: la matrice perde la simmetria, ma il metodo resta lo stesso.

Un controllo sempre utile

Dopo aver risolto conviene verificare il bilancio delle potenze: la somma delle potenze erogate dai generatori deve essere uguale alla somma delle potenze dissipate nei resistori. Nell’esempio: R_1 porta (10 - 4{,}2)/1 = 5{,}8 mA, quindi E eroga 10\cdot 5{,}8 = 58 mW; J eroga v_2 J = 2{,}6 mW. Le potenze dissipate: 5{,}8^2 + 4{,}2^2 + 1{,}6^2 + 2{,}6^2 = 33{,}64 + 17{,}64 + 2{,}56 + 6{,}76 = 60{,}6 mW, uguale ai 60,6 mW erogati. I conti tornano.

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