Sistemi trifase: stella, triangolo e potenza
La terna simmetrica e la sua somma nulla, collegamento a stella e a triangolo, tensioni di fase e di linea, potenza trifase, potenza istantanea costante e campo rotante.
L’energia elettrica viene prodotta, trasportata e distribuita quasi ovunque in forma trifase: tre tensioni sinusoidali della stessa ampiezza e frequenza, sfasate di 120° l’una dall’altra. Le prese di casa sono monofase, ma sono solo una delle tre fasi della rete del quartiere. In questa lezione vediamo perché il trifase conviene, i collegamenti a stella e a triangolo, le relazioni tra grandezze di fase e di linea e la potenza.
La terna simmetrica
Un generatore trifase (un alternatore con tre avvolgimenti a 120° sullo statore) produce tre tensioni:
![\[ e_1 = \sqrt2 E\cos\omega t,\qquad e_2 = \sqrt2 E\cos(\omega t - 120°),\qquad e_3 = \sqrt2 E\cos(\omega t - 240°) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3a85ec76fc73850e9870160e1508eac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con i fasori, ponendo 
: 
, 
, 
.
Teorema. La somma delle tre tensioni di una terna simmetrica è nulla in ogni istante.
Dimostrazione. Basta mostrarlo per i fasori: 
. Poiché 
e 
,
![\[ 1 + \alpha + \alpha^2 = \frac{\alpha^3 - 1}{\alpha - 1} = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-738309a37b26ab102210dd4cfeb3436f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Geometricamente: tre vettori uguali a 120° formano un triangolo equilatero chiuso. ∎
Il collegamento a stella
I tre avvolgimenti hanno un capo in comune, il centro stella (collegato al neutro), e gli altri tre ai conduttori di linea. Si distinguono:
- le tensioni di fase (stellate), tra ogni linea e il neutro:
; - le tensioni di linea (concatenate), tra due linee:
.
Calcolando: 
. Quindi
![\[ V_L = \sqrt3\,E \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0ca8e965cdb13eb868663e640948b39_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È l’origine della coppia di numeri della rete europea: 230 V tra fase e neutro, 
V tra due fasi. A stella la corrente di linea è uguale a quella di fase.
Se il carico è equilibrato (tre impedenze uguali), le tre correnti formano anch’esse una terna simmetrica e la loro somma, cioè la corrente nel neutro, è zero: il neutro si potrebbe togliere. Nella distribuzione a bassa tensione serve comunque, perché i carichi monofase delle case non sono mai perfettamente bilanciati tra le fasi.
Il collegamento a triangolo
I tre avvolgimenti (o le tre impedenze del carico) sono collegati in anello e i tre vertici vanno alle linee. Ora ogni elemento è sottoposto alla tensione di linea, e la corrente di linea è la differenza di due correnti di fase: con lo stesso calcolo,
![\[ I_L = \sqrt3\,I_F \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93f773f4148e5300f9a54d19cb64db3b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Un carico equilibrato a triangolo di impedenza 
equivale a uno a stella con
![\[ \bar Z_Y = \frac{\bar Z_\Delta}{3} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0402f0334857c3839e26ca39e5ebe76b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ne viene l’avviamento stella-triangolo dei motori: avviato a stella, ogni avvolgimento riceve 
della tensione e la corrente di linea si riduce a un terzo; a regime il motore viene commutato a triangolo.
La potenza trifase
Per un carico equilibrato la potenza è tre volte quella di una fase. Espressa con le grandezze di linea, che sono quelle misurabili, vale per stella e triangolo:
![\[ P = \sqrt3\,V_L I_L\cos\varphi,\qquad Q = \sqrt3\,V_L I_L\sin\varphi,\qquad S = \sqrt3\,V_L I_L \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bc5d330ff0df79abd535618bb395645_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esempio. Un motore da 15 kW a 400 V con 
assorbe 
A per linea. In monofase a 230 V la stessa potenza richiederebbe 76,7 A.
Perché il trifase
Potenza istantanea costante. In una fase la potenza istantanea è 
, dove 
vale 0°, 240° e 480° (cioè 120°) per le tre fasi. I tre termini oscillanti sono sfasati di 120° tra loro: formano una terna simmetrica, e per il teorema precedente la loro somma è zero. Resta
![\[ p(t) = 3\,VI\cos\varphi \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a744c0d5e38452c05306a4f03d291cd1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
costante. Un motore trifase riceve una coppia costante e non vibra, al contrario di un monofase, la cui potenza pulsa a 100 Hz.
Meno rame. A parità di potenza trasmessa, di tensione tra i conduttori e di perdite, una linea trifase senza neutro usa il 75% del rame di una monofase.
Campo rotante. Tre bobine a 120° alimentate dalla terna producono un campo magnetico di ampiezza costante che ruota alla frequenza di rete: è il principio del motore asincrono, il motore elettrico più diffuso al mondo, robusto e senza spazzole. Scambiando due fasi il campo ruota al contrario e il motore inverte il senso di marcia.
