Doppi bipoli, mutua induttanza e trasformatore ideale
Parametri Z, Y, ibridi e di trasmissione, reciprocità, induttori accoppiati con dimostrazione di k ≤ 1, trasformatore ideale e trasporto di impedenza.
Molti componenti e sottocircuiti hanno una porta d’ingresso e una d’uscita: un amplificatore, un filtro, una linea di trasmissione, un trasformatore. Per collegarli tra loro non serve sapere cosa contengono: bastano le relazioni tra tensioni e correnti alle due porte. È il modello del doppio bipolo, che in questa lezione applichiamo anche agli induttori accoppiati e al trasformatore ideale.
Il doppio bipolo
Un doppio bipolo ha due coppie di morsetti, le porte. Per ciascuna porta la corrente che entra da un morsetto esce dall’altro. Le grandezze sono quattro: 
alla porta d’ingresso e 
a quella d’uscita, con le correnti prese entranti in entrambe.
Se il circuito interno è lineare e senza generatori, due delle quattro grandezze sono funzioni lineari delle altre due. Le scelte possibili danno le diverse rappresentazioni.
Le matrici dei parametri
Parametri impedenza (correnti come ingressi):
![\[ \begin{pmatrix} \bar V_1 \\ \bar V_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar I_1 \\ \bar I_2 \end{pmatrix} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0247b546feb5282747159a56f55b2c5a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ogni parametro si misura con una porta aperta: 
con 
, 
con , e così via.
Esempio. Una rete a T con 
sul ramo d’ingresso, 
su quello d’uscita e 
verso massa: con l’uscita aperta, 
e 
; per simmetria 
e 
.
Le altre rappresentazioni:
- ammettenza
(tensioni come ingressi, misure in cortocircuito); - ibridi
: 
e 
in funzione di 
e 
. Sono quelli dei datasheet dei transistor bipolari: 
è il guadagno di corrente; - di trasmissione (ABCD): l’ingresso in funzione dell’uscita. Il loro pregio è che per due doppi bipoli in cascata la matrice complessiva è il prodotto delle due matrici.
Reciprocità. In un circuito fatto solo di resistori, condensatori e induttori (anche accoppiati) vale 
: l’effetto di una corrente alla porta 1 sulla tensione della porta 2 è uguale a quello inverso. Nell’esempio a T lo si vede direttamente. I circuiti con generatori controllati, come i modelli dei transistor, in genere non sono reciproci.
Induttori accoppiati
Due bobine vicine si scambiano flusso: la corrente in una induce tensione nell’altra. Le equazioni sono
![\[ v_1 = L_1\frac{di_1}{dt} + M\frac{di_2}{dt},\qquad v_2 = M\frac{di_1}{dt} + L_2\frac{di_2}{dt} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df3f0389a804589a6dcb839b7615116a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è la mutua induttanza. Il segno dipende dal verso degli avvolgimenti, e sugli schemi è indicato con un pallino: se entrambe le correnti entrano dal morsetto col pallino, i flussi si sommano e compare col segno più. In regime sinusoidale è un doppio bipolo con 
, 
, 
.
Teorema. 
, cioè il coefficiente di accoppiamento 
è al massimo 1.
Dimostrazione. L’energia immagazzinata nel campo magnetico è
![\[ W = \tfrac12 L_1 i_1^2 + M i_1 i_2 + \tfrac12 L_2 i_2^2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2a0bd2bbe66c765039be63cb4c47a16_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e deve essere non negativa per qualsiasi coppia di correnti, perché un componente passivo non può restituire più energia di quella ricevuta. Con 
e 
, 
è un polinomio di secondo grado in 
con coefficiente direttore positivo: è non negativo per ogni solo se il discriminante non è positivo, 
. ∎
significa che tutto il flusso di una bobina attraversa l’altra; nei trasformatori di potenza con nucleo di ferro si arriva a 0,99, tra due bobine in aria lontane 
è prossimo a zero.
Il trasformatore ideale
È il limite di due bobine con accoppiamento perfetto (), senza perdite e con induttanze grandissime. Avvolte sullo stesso nucleo, con 
e 
spire, sono attraversate dallo stesso flusso 
, e per la legge di Faraday 
, 
. Quindi
![\[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{n_2}{n_1},\qquad \frac{i_2}{i_1} = -\frac{n_1}{n_2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82db7c588a972b49518c0bc07f6cf242_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La seconda relazione viene dal fatto che il trasformatore ideale non assorbe né immagazzina energia: 
. Il segno meno dice che, con le correnti entranti, quando la corrente entra nel primario esce dal secondario.
Trasporto di impedenza. Con un carico 
sul secondario, l’impedenza vista dal primario è
![\[ \bar Z_{in} = \frac{\bar V_1}{\bar I_1} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 \bar Z_L \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9d804669c370b50c0917936deb1d505_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
perché la tensione si divide per 
e la corrente si moltiplica per lo stesso fattore. È il modo classico di adattare un carico a una sorgente: un altoparlante da 8 Ω, attraverso un trasformatore con rapporto spire 10:1, appare all’amplificatore come 800 Ω.
I trasformatori reali. Il trasformatore vero si modella aggiungendo all’ideale una resistenza per gli avvolgimenti, un’induttanza per il flusso disperso e un ramo per la corrente magnetizzante e le perdite nel ferro. Funziona solo in alternata: con una tensione continua il flusso non varia e non si induce nulla al secondario. È per questo che la rete elettrica è in alternata: i trasformatori alzano la tensione per il trasporto (a 380 kV le correnti, e quindi le perdite 
, sono piccole) e la riabbassano per l’uso.
