Semiconduttori: bande di energia, elettroni e lacune, drogaggio

Diodi, transistor, LED, celle solari e microprocessori sono fatti quasi tutti dello stesso materiale: il silicio, un semiconduttore. La sua conducibilità sta tra quella dei metalli e quella degli isolanti, ma soprattutto si può controllare aggiungendo quantità minuscole di altri elementi. In questa lezione vediamo da dove vengono gli elettroni e le lacune che portano la corrente, come il drogaggio ne cambia il numero e la legge che lega le due concentrazioni.

Il cristallo di silicio

Il silicio ha quattro elettroni di valenza. Nel cristallo ogni atomo è legato ai quattro vicini con legami covalenti, ciascuno fatto da due elettroni condivisi. A temperatura zero tutti gli elettroni sono impegnati nei legami e il cristallo è un isolante.

A temperatura ambiente l’agitazione termica rompe ogni tanto un legame: un elettrone si libera e può muoversi nel cristallo, e nel legame resta un posto vuoto, la lacuna. Un elettrone di un legame vicino può saltare in quel posto vuoto, e la lacuna si sposta nel verso opposto. Il moto della lacuna equivale al moto di una carica positiva : per questo in un semiconduttore la corrente è portata da due tipi di portatori, elettroni e lacune.

Le bande di energia

In un atomo isolato gli elettroni hanno livelli di energia discreti. In un cristallo, con circa atomi per centimetro cubo, i livelli si allargano in bande:

• la banda di valenza, con energia massima , contiene gli elettroni dei legami;
• la banda di conduzione, con energia minima , contiene gli elettroni liberi;
• tra le due c’è la banda proibita (gap), larga .

Nel silicio eV, nel germanio 0,66 eV, nell’arseniuro di gallio 1,42 eV, nel diamante (un isolante) 5,5 eV. Nei metalli le bande si sovrappongono e ci sono sempre elettroni liberi.

Il semiconduttore intrinseco

In un cristallo puro ogni elettrone liberato lascia una lacuna, quindi le concentrazioni sono uguali: , la concentrazione intrinseca. Cresce rapidamente con la temperatura:

dove e sono costanti del materiale (le densità efficaci degli stati) e a 300 K vale 25,9 meV. Nel silicio a temperatura ambiente cm⁻³: un elettrone libero ogni atomi. Troppo pochi per farne un buon conduttore, e troppo dipendenti dalla temperatura per costruirci dei dispositivi.

Il drogaggio

Si sostituisce una piccola frazione degli atomi di silicio con atomi di un altro gruppo.

• Tipo n. Un atomo del gruppo V (fosforo, arsenico) ha cinque elettroni di valenza: quattro formano i legami, il quinto è legato debolmente (circa 0,045 eV per il fosforo) e a temperatura ambiente si libera. L’atomo è un donatore e diventa uno ione positivo fisso.
• Tipo p. Un atomo del gruppo III (boro) ha tre elettroni: a uno dei quattro legami manca un elettrone, cioè c’è una lacuna, che un elettrone vicino riempie facilmente. L’atomo è un accettore e diventa uno ione negativo fisso.

Bastano concentrazioni piccolissime: con cm⁻³, un atomo di fosforo ogni cinque milioni di atomi di silicio, gli elettroni liberi diventano un milione di volte più numerosi che nel silicio puro.

La legge di azione di massa

Teorema. All’equilibrio termico, in un semiconduttore non degenere, drogato o no,

Dimostrazione. Con la statistica di Boltzmann, le concentrazioni dipendono dalla distanza del livello di Fermi dalle bande:

Moltiplicando, si cancella: , che dipende solo dal materiale e dalla temperatura. Nel caso intrinseco , quindi la costante vale . ∎

Il significato fisico: elettroni e lacune si generano a coppie per agitazione termica e si ricombinano quando si incontrano, e la frequenza degli incontri è proporzionale al prodotto . All’equilibrio generazione e ricombinazione si bilanciano.

Portatori maggioritari e minoritari

In un tipo n con , tutti i donatori sono ionizzati, quindi , e dalla legge di azione di massa

Esempio. Con cm⁻³: cm⁻³ e cm⁻³. Gli elettroni sono i maggioritari, le lacune i minoritari, dodici ordini di grandezza meno numerose. Aumentando gli elettroni, il drogaggio fa aumentare la ricombinazione e quindi diminuire le lacune.

Nel tipo p vale il contrario: , . Se un materiale contiene sia donatori sia accettori conta la differenza: è così che si costruiscono strati di tipo diverso sovrapposti nello stesso cristallo.

La temperatura

Il drogaggio controlla i maggioritari solo finché resta molto più piccolo del drogaggio. Poiché cresce esponenzialmente con (raddoppia circa ogni 9 °C nel silicio), oltre una certa temperatura il materiale torna a comportarsi come intrinseco e i dispositivi smettono di funzionare. Nel silicio il limite pratico è intorno a 150-200 °C; i semiconduttori a gap largo come il carburo di silicio (3,3 eV) e il nitruro di gallio (3,4 eV) reggono temperature molto più alte, e per questo sono usati nell’elettronica di potenza delle auto elettriche e dei caricabatterie compatti.