Trasporto nei semiconduttori: deriva, diffusione e ricombinazione
Mobilità e corrente di deriva, resistività, diffusione e legge di Fick, relazione di Einstein con dimostrazione, tempo di vita, LED, equazione di continuità e lunghezza di diffusione.
Sapere quanti portatori ci sono non basta: per calcolare una corrente bisogna sapere come si muovono. In un semiconduttore si muovono in due modi: trascinati da un campo elettrico (deriva) o spinti da una differenza di concentrazione (diffusione). Il funzionamento di diodi e transistor si capisce proprio dalla competizione tra questi due meccanismi e dalla ricombinazione.
La corrente di deriva
Un elettrone libero, sotto un campo 
, accelera ma urta continuamente il reticolo vibrante e le impurità: in media raggiunge una velocità di deriva proporzionale al campo,
![\[ v_n = -\mu_n E,\qquad v_p = \mu_p E \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b201c26a7c4f2c5006d1d47a2c8874d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è la mobilità. Nel silicio poco drogato 
cm²/(V·s) e 
cm²/(V·s): le lacune sono quasi tre volte più lente, ed è uno dei motivi per cui nei circuiti si preferiscono i transistor a canale n. La densità di corrente totale è
![\[ J_{drift} = q\,(n\mu_n + p\mu_p)\,E = \sigma E \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-427e2931de82447d5c3e882c6a722353_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che è la legge di Ohm in forma locale, con conducibilità 
.
Esempio. Silicio intrinseco: 
Ω·cm. Con 
cm⁻³: 
Ω·cm, quasi un milione di volte meno. Il rame ha 
Ω·cm.
A campi forti (sopra 
V/cm circa) la velocità non cresce più e satura a circa 
cm/s: è quello che limita la velocità dei transistor più piccoli.
La corrente di diffusione
Se i portatori sono più concentrati da una parte, il loro moto casuale li porta in media verso la zona meno concentrata, come una goccia di inchiostro nell’acqua. Il flusso è proporzionale al gradiente (legge di Fick):
![\[ J_{n,diff} = q D_n\frac{dn}{dx},\qquad J_{p,diff} = -q D_p\frac{dp}{dx} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0001744fcd020d211b4fb00d49b3cae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è il coefficiente di diffusione. I segni sono diversi perché le cariche sono opposte: elettroni e lacune diffondono entrambi verso la concentrazione minore, ma la corrente delle lacune ha il verso del loro moto, quella degli elettroni il verso opposto.
La relazione di Einstein
Mobilità e diffusione non sono indipendenti: entrambe dipendono dagli urti con il reticolo.
Teorema (relazione di Einstein).
![\[ \frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{kT}{q} = V_T \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ec57447226e03888c5a8a517acabf03_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Si consideri un semiconduttore all’equilibrio con drogaggio non uniforme. Gli elettroni diffondono e creano un campo 
, e all’equilibrio la corrente totale di elettroni è nulla:
![\[ q n\mu_n E + qD_n\frac{dn}{dx} = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69eefa2ffc65530047cb4f0b00570544_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
All’equilibrio la concentrazione segue la statistica di Boltzmann, 
(gli elettroni si accumulano dove il potenziale è più alto), quindi 
. Sostituendo: 
, cioè 
. Lo stesso ragionamento vale per le lacune. ∎
A 300 K 
mV, la tensione termica, che comparirà in tutte le formule di diodi e transistor. Per gli elettroni nel silicio 
cm²/s.
Generazione, ricombinazione e tempo di vita
Se si iniettano portatori in eccesso (con la luce o attraverso una giunzione), la legge 
non vale più e il sistema torna all’equilibrio per ricombinazione. Per i minoritari in eccesso 
in un tipo n, la velocità di ricombinazione è 
, dove 
è il tempo di vita: da nanosecondi a millisecondi, a seconda della purezza del cristallo.
Nel silicio la ricombinazione avviene quasi sempre attraverso difetti e impurità (livelli in mezzo al gap) e libera calore. Nei semiconduttori a gap diretto come l’arseniuro di gallio e il nitruro di gallio, invece, elettrone e lacuna si ricombinano direttamente emettendo un fotone di energia circa 
: è il principio dei LED e dei laser. Il colore dipende dal gap: 
nm con in eV.
L’equazione di continuità e la lunghezza di diffusione
Il bilancio dei minoritari in un volumetto dice che la loro concentrazione cambia per la corrente che entra o esce e per la ricombinazione:
![\[ \frac{\partial \Delta p}{\partial t} = D_p\frac{\partial^2 \Delta p}{\partial x^2} - \frac{\Delta p}{\tau_p} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-857fc8f28183cb91e559fa38d0e919b5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(senza campo e senza generazione). In regime stazionario, con un eccesso 
mantenuto in 
, la soluzione che si annulla lontano è
![\[ \Delta p(x) = \Delta p_0\,e^{-x/L_p},\qquad L_p = \sqrt{D_p\tau_p} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a507fdb0a6921180d09df2793d17622_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La lunghezza di diffusione 
è la distanza media percorsa da un minoritario prima di ricombinarsi: con 
cm²/s e 
µs, 
µm. Questo numero decide la geometria dei dispositivi: nel transistor bipolare la base deve essere molto più sottile di 
, perché i portatori la attraversino senza perdersi.
Il quadro completo
Mettendo insieme deriva e diffusione:
![\[ J_n = qn\mu_n E + qD_n\frac{dn}{dx},\qquad J_p = qp\mu_p E - qD_p\frac{dp}{dx} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b6f5fc30b8d20e8b7908f62666a42cd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Queste due equazioni, con l’equazione di continuità e l’equazione di Poisson per il campo, sono il modello con cui i simulatori calcolano qualsiasi dispositivo a semiconduttore. Nelle prossime lezioni le applichiamo a mano ai casi più importanti: la giunzione pn, il diodo, il transistor bipolare e il MOSFET.
