Mezzi anisotropi: il tensore di Polder della ferrite, cristalli birifrangenti, plasma della ionosfera ed effetto Hall

I tensori di permeabilità, permittività e conducibilità ricavati dalla fisica del materiale: tensore di Polder dimostrato, rotazione di Faraday, isolatori e circolatori, lamine d'onda, frequenza di plasma e rotazione di Faraday nella ionosfera, effetto Hall.

ielettronica 25 ottobre 2026 12 min di lettura 0 commenti

Nei materiali visti finora la risposta al campo è uno scalare: $\mathbf D = \varepsilon\mathbf E$ , $\mathbf B = \mu\mathbf H$ , $\mathbf J = \sigma\mathbf E$ , e il vettore risposta è parallelo al campo che lo produce. In molti materiali importanti non è così: un campo lungo $x$ produce una risposta anche lungo $y$ . La costante diventa allora una matrice 3×3, un tensore, e il mezzo si dice anisotropo. Su questo si basano dispositivi senza i quali radar, telefonia e ottica non funzionerebbero: isolatori e circolatori a ferrite, lamine d’onda e polarizzatori, sensori a effetto Hall, e la scelta della polarizzazione circolare nei collegamenti via satellite. Questa lezione ricava i quattro tensori principali dalla fisica del materiale: la permeabilità della ferrite (tensore di Polder), la permittività dei cristalli, quella del plasma magnetizzato (la ionosfera) e la conducibilità in campo magnetico (effetto Hall). Gli esercizi collegati mostrano come si usano.

Che cos’è un tensore in elettromagnetismo

Un tensore del secondo ordine è una matrice che trasforma un vettore in un altro vettore: $D_i = \sum_j\varepsilon_{ij}E_j$ . L’elemento $\varepsilon_{xy}$ dice quanto campo lungo $y$ produce spostamento elettrico lungo $x$ . Cambiando il sistema di riferimento con una rotazione $R$ , la matrice cambia come $R\,[\varepsilon]\,R^T$ : i suoi numeri dipendono dagli assi scelti, ma il legame fisico tra i vettori no.

Due proprietà decidono tutto ciò che segue.

Se il tensore è reale e simmetrico (cristalli senza perdite), per il teorema spettrale esistono tre assi perpendicolari, gli assi principali, in cui la matrice è diagonale: lungo ciascuno il mezzo si comporta come un mezzo isotropo, con la sua costante. Le onde polarizzate lungo assi diversi viaggiano a velocità diverse.
Se il tensore è hermitiano ma non simmetrico, con elementi fuori diagonale immaginari e opposti (ferriti e plasmi magnetizzati: mezzi girotropici), gli assi “propri” sono complessi: sono le polarizzazioni circolari. Le due polarizzazioni circolari viaggiano a velocità diverse, e il mezzo è non reciproco.

La ferrite: il tensore di Polder

Le ferriti (ossidi di ferro con altri metalli, come l’ittrio-ferro granato YIG) sono magnetiche ma isolanti: le microonde le attraversano senza essere riflesse come da un metallo. Ogni elettrone ha un momento magnetico legato al suo spin, e in un campo magnetico statico $\mathbf H_0$ la magnetizzazione $\mathbf M$ non si allinea subito al campo: precessa attorno a esso, come una trottola inclinata attorno alla verticale. L’equazione del moto (Landau-Lifshitz, senza smorzamento) è

$\frac{d\mathbf M}{dt} = -\gamma\mu_0\,\mathbf M\times\mathbf H$

con $\gamma = 1{,}76\cdot 10^{11}$ rad/(s·T), il rapporto giromagnetico dell’elettrone ( $\gamma/2\pi = 28$ GHz/T).

Teorema (tensore di Polder). Con una ferrite saturata da un campo statico $\mathbf H_0 = H_0\hat z$ (magnetizzazione $M_s\hat z$ ) e un piccolo campo a microonde $\mathbf h\,e^{j\omega t}$ , si ha $\mathbf b = [\mu]\mathbf h$ con

$[\mu] = \begin{pmatrix} \mu & j\kappa & 0 \\ -j\kappa & \mu & 0 \\ 0 & 0 & \mu_0 \end{pmatrix},\qquad \mu = \mu_0\left(1 + \frac{\omega_0\omega_m}{\omega_0^2 - \omega^2}\right),\qquad \kappa = \mu_0\frac{\omega\,\omega_m}{\omega_0^2 - \omega^2}$

dove $\omega_0 = \gamma\mu_0H_0$ è la pulsazione di risonanza ferromagnetica e $\omega_m = \gamma\mu_0M_s$ .

Dimostrazione. Si scrive $\mathbf M = M_s\hat z + \mathbf m\,e^{j\omega t}$ , $\mathbf H = H_0\hat z + \mathbf h\,e^{j\omega t}$ , si sostituisce e si trascurano i prodotti di due termini piccoli ( $\mathbf m\times\mathbf h$ ); il termine $M_s\hat z\times H_0\hat z$ è nullo. Resta

$j\omega\,\mathbf m = -\gamma\mu_0\left(M_s\,\hat z\times\mathbf h + H_0\,\mathbf m\times\hat z\right)$

In componenti, con $\hat z\times\mathbf h = (-h_y, h_x, 0)$ e $\mathbf m\times\hat z = (m_y, -m_x, 0)$ :

$j\omega m_x + \omega_0m_y = \omega_mh_y,\qquad -\omega_0m_x + j\omega m_y = -\omega_mh_x$

Un sistema lineare 2×2 in $m_x, m_y$ , con determinante $\omega_0^2 - \omega^2$ . Con la regola di Cramer:

$m_x = \frac{\omega_0\omega_m\,h_x + j\omega\,\omega_m\,h_y}{\omega_0^2 - \omega^2},\qquad m_y = \frac{-j\omega\,\omega_m\,h_x + \omega_0\omega_m\,h_y}{\omega_0^2 - \omega^2}$

e $m_z = 0$ . Infine $\mathbf b = \mu_0(\mathbf h + \mathbf m)$ : raccogliendo i coefficienti di $h_x$ e $h_y$ si ottiene la matrice dell’enunciato. ∎

Il termine $j\kappa$ è la firma della precessione: un campo a microonde lungo $x$ fa nascere una magnetizzazione lungo $y$ , sfasata di 90°. Il tensore è hermitiano ( $\mu_{xy} = \mu_{yx}^*$ ) ma non simmetrico: la ferrite senza perdite non assorbe energia, ma non è reciproca.

Le due onde circolari. Gli autovettori della parte trasversale sono $\hat x \mp j\hat y$ , le due polarizzazioni circolari, con autovalori

$\mu_\pm = \mu \pm \kappa = \mu_0\left(1 + \frac{\omega_m}{\omega_0 \mp \omega}\right)$

(la verifica è immediata: $[\mu](\hat x - j\hat y) = (\mu + \kappa)(\hat x - j\hat y)$ ). Un’onda piana che viaggia lungo $\hat z$ , parallela al campo statico, vede quindi due mezzi diversi a seconda del verso di rotazione del suo campo: $\beta_\pm = \omega\sqrt{\varepsilon\mu_\pm}$ . Per l’onda che ruota nello stesso verso della precessione, $\mu_+$ diventa infinita alla risonanza $\omega = \omega_0$ : con le perdite reali, quell’onda viene assorbita.

Permeabilità delle due onde circolari in una ferrite a 10 GHz in funzione del campo di polarizzazione — La permeabilità dell’onda che ruota con la precessione, rossa, diverge alla risonanza, 0,357 tesla, ed è negativa subito sopra; quella dell’onda opposta, blu, cambia poco. La linea grigia tratteggiata è il valore 1.

Rotazione di Faraday, isolatori e circolatori

Un’onda polarizzata linearmente è la somma di due onde circolari opposte. Nella ferrite viaggiano con costanti di fase diverse, e dopo una lunghezza $L$ lo sfasamento tra le due fa ruotare il piano di polarizzazione di

$\theta = \frac{(\beta_- - \beta_+)L}{2}$

È la rotazione di Faraday. Il punto decisivo è che il verso di rotazione è fissato dal campo statico $\mathbf H_0$ , non dal verso di propagazione: un’onda che torna indietro non viene “srotolata”, ma ruota ancora nello stesso verso rispetto a $\mathbf H_0$ . Andata e ritorno, la rotazione raddoppia. È l’opposto di quanto accade in una soluzione di zucchero (attività ottica), dove andata e ritorno si compensano.

Su questo si costruisce l’isolatore: un rotatore di 45° tra due polarizzatori inclinati di 45° l’uno rispetto all’altro. L’onda in avanti ruota di 45° e passa; l’onda riflessa torna, ruota di altri 45° e arriva perpendicolare al primo polarizzatore, che la assorbe. Si protegge così un trasmettitore (un magnetron, un amplificatore) dalle riflessioni di un carico disadattato.

L'isolatore a rotazione di Faraday — L’onda in ingresso, polarizzata verticalmente, ruota di 45 gradi nella ferrite magnetizzata dal campo B zero e passa il secondo polarizzatore. L’onda riflessa, in rosso, ruota di altri 45 gradi nello stesso verso e arriva orizzontale, perpendicolare al primo polarizzatore, che la blocca.

Il circolatore è la generalizzazione a tre porte: ciò che entra dalla porta 1 esce dalla 2, ciò che entra dalla 2 esce dalla 3, ciò che entra dalla 3 esce dalla 1. In un radar a un’antenna sola collega trasmettitore, antenna e ricevitore: l’impulso va all’antenna, l’eco torna al ricevitore. La sua matrice di diffusione è

$S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Teorema. Una rete a tre porte senza perdite, adattata a tutte le porte e reciproca non esiste: il circolatore, che è senza perdite e adattato, deve essere non reciproco (e quindi contenere una ferrite magnetizzata, o elettronica attiva).

Dimostrazione. Reciproca significa $S$ simmetrica; adattata, diagonale nulla: $S = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{pmatrix}$ . Senza perdite significa $S$ unitaria: colonne ortonormali. L’ortogonalità delle colonne a due a due dà $b^*c = 0$ , $a^*c = 0$ , $a^*b = 0$ : almeno due tra $a, b, c$ sono nulli. Ma la normalizzazione richiede $|a|^2 + |b|^2 = 1$ , $|a|^2 + |c|^2 = 1$ , $|b|^2 + |c|^2 = 1$ : con due coefficienti nulli una di queste diventa $0 = 1$ . ∎

Il circolatore a tre porte — Al centro della giunzione a Y c’è un disco di ferrite magnetizzato perpendicolarmente al piano: la potenza che entra da una porta esce solo dalla porta successiva, nel verso della freccia.

I cristalli: il tensore di permittività

In un cristallo gli atomi sono disposti in un reticolo, e gli elettroni si spostano più facilmente in alcune direzioni che in altre: $\mathbf D = \varepsilon_0[\varepsilon_r]\mathbf E$ .

Teorema. In un mezzo senza perdite il tensore di permittività è reale e simmetrico, quindi esistono tre assi principali perpendicolari.

Dimostrazione. L’energia immagazzinata per unità di volume cresce di $dw = \mathbf E\cdot d\mathbf D = \varepsilon_0\sum_{ij}E_i\varepsilon_{ij}\,dE_j$ . Perché $w$ sia una funzione dello stato (non dipenda dal percorso con cui si arriva al campo finale, altrimenti un ciclo chiuso creerebbe o distruggerebbe energia) la forma differenziale deve essere esatta: $\frac{\partial^2w}{\partial E_i\partial E_j} = \varepsilon_0\varepsilon_{ij}$ deve essere uguale a $\varepsilon_0\varepsilon_{ji}$ . Una matrice reale simmetrica è diagonalizzabile con una rotazione (teorema spettrale). ∎

Negli assi principali $[\varepsilon_r] = \text{diag}(n_x^2, n_y^2, n_z^2)$ . Nei cristalli uniassiali (quarzo, calcite, niobato di litio) due indici sono uguali: $n_x = n_y = n_o$ (indice ordinario) e $n_z = n_e$ (straordinario); l’asse $z$ è l’asse ottico. Un’onda che viaggia perpendicolarmente all’asse ottico si scompone in due onde: con il campo perpendicolare all’asse viaggia a $c/n_o$ , con il campo parallelo a $c/n_e$ . È la birifrangenza: guardando attraverso un cristallo di calcite ( $n_o = 1{,}658$ , $n_e = 1{,}486$ ) si vede un’immagine doppia.

Le lamine d’onda. Una lamina di spessore $d$ tagliata parallelamente all’asse ottico introduce tra le due componenti uno sfasamento

$\Gamma = \frac{2\pi}{\lambda}(n_e - n_o)\,d$

Con $\Gamma = \pi/2$ (lamina a quarto d’onda) una luce lineare a 45° dagli assi esce polarizzata circolarmente; con $\Gamma = \pi$ (mezz’onda) una luce lineare ruota di un angolo doppio di quello che forma con l’asse. Nel calcolo di Jones una lamina con l’asse lento a un angolo $\vartheta$ è la matrice $R(\vartheta)\,\text{diag}(1, e^{-j\Gamma})\,R(-\vartheta)$ , con $R$ la rotazione: gli esercizi la usano. Le stesse idee, con il niobato di litio in cui $n_e$ dipende dal campo elettrico applicato (effetto elettro-ottico), danno i modulatori delle fibre ottiche a 100 Gbit/s.

Polarizzazione all'uscita di una lamina per tre valori dello sfasamento — La luce entra lineare a 45 gradi dagli assi della lamina. Con sfasamento nullo resta lineare, a sinistra; con un quarto d’onda diventa circolare, al centro; con mezz’onda torna lineare ma ruotata di 90 gradi, a destra.

Il plasma magnetizzato: la ionosfera

La ionosfera, tra 60 e 1000 km di quota, contiene elettroni liberi (fino a circa $10^{12}$ per metro cubo) immersi nel campo magnetico terrestre $\mathbf B_0$ (circa 50 μT). Un elettrone di carica $-e$ e massa $m$ obbedisce a $m\frac{d\mathbf v}{dt} = -e(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B_0)$ : la stessa struttura della precessione della ferrite, con la pulsazione di ciclotrone $\omega_c = eB_0/m$ al posto di $\omega_0$ . La corrente $\mathbf J = -Ne\mathbf v$ dà al plasma un tensore di permittività dello stesso tipo girotropico.

Per le onde che viaggiano lungo $\mathbf B_0$ si trovano di nuovo due onde circolari, con indici

$n_\pm^2 = 1 - \frac{X}{1 \mp Y},\qquad X = \frac{\omega_p^2}{\omega^2},\quad Y = \frac{\omega_c}{\omega},\quad \omega_p^2 = \frac{Ne^2}{\varepsilon_0m}$

( $\omega_p$ è la pulsazione di plasma). Senza campo magnetico ( $Y = 0$ ) resta $n^2 = 1 - \omega_p^2/\omega^2$ : sotto la frequenza di plasma l’indice è immaginario e l’onda è riflessa. Con $N = 10^{12}$ m⁻³ la frequenza di plasma è di circa 9 MHz: per questo le onde corte (HF) rimbalzano sulla ionosfera e fanno il giro del mondo, mentre FM, TV e satelliti la attraversano.

Teorema (rotazione di Faraday nella ionosfera). Per $\omega \gg \omega_p, \omega_c$ un’onda lineare che attraversa la ionosfera lungo $\mathbf B_0$ ruota di

$\Omega = \frac{e^3}{8\pi^2\varepsilon_0m^2c}\cdot\frac{B_0\,\text{TEC}}{f^2} = 2{,}365\cdot 10^4\,\frac{B_0\,\text{TEC}}{f^2}\ \text{rad}$

dove $\text{TEC} = \int N\,dl$ è il contenuto elettronico totale (elettroni per metro quadro lungo il percorso).

Dimostrazione. Con $X, Y \ll 1$ : $\frac{1}{1 \mp Y} \approx 1 \pm Y$ , $n_\pm^2 \approx 1 - X(1 \pm Y)$ , $n_\pm \approx 1 - \frac{X}{2} \mp \frac{XY}{2}$ . La differenza tra gli indici è $n_- - n_+ = XY$ , e come per la ferrite la rotazione è metà della differenza di fase: $\Omega = \frac{\omega}{2c}\int XY\,dl = \frac{\omega}{2c}\cdot\frac{e^2}{\varepsilon_0m\omega^2}\cdot\frac{eB_0}{m\omega}\int N\,dl$ . Con $\omega = 2\pi f$ si ottiene la formula. ∎

Con un TEC tipico di $10^{17}$ m⁻² la rotazione è di 302° a 150 MHz, di 3° a 1,5 GHz e di 0,05° a 12 GHz (il calcolo esatto con gli indici completi dà gli stessi valori entro lo 0,2 %). Il TEC cambia durante il giorno e con l’attività solare, quindi la rotazione a VHF è imprevedibile: un’antenna lineare a terra può trovarsi incrociata con l’onda ricevuta. Per questo i satelliti a bassa frequenza (GPS a 1,2-1,6 GHz, telemetria VHF) usano la polarizzazione circolare, che la rotazione di Faraday non altera.

Rotazione di Faraday nella ionosfera in funzione della frequenza — In scala logaritmica la rotazione decresce come uno su f al quadrato: circa 300 gradi a 150 MHz, 3 gradi a 1,5 GHz, 0,05 gradi a 12 GHz, per un contenuto elettronico di 10 alla 17 elettroni per metro quadro e un campo di 50 microtesla.

Il tensore di conducibilità: l’effetto Hall

Nel modello di Drude un elettrone di conduzione accelera nel campo e perde la velocità negli urti, in media ogni $\tau$ : $m\frac{d\mathbf v}{dt} = -e(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B) - \frac{m\mathbf v}{\tau}$ . In regime stazionario, con $\mathbf B = B\hat z$ e $\mathbf J = -Ne\mathbf v$ , si risolve un sistema 2×2 come per la ferrite:

$\mathbf J = \frac{\sigma_0}{1 + (\omega_c\tau)^2}\begin{pmatrix} 1 & -\omega_c\tau \\ \omega_c\tau & 1 \end{pmatrix}\mathbf E,\qquad \sigma_0 = \frac{Ne^2\tau}{m}$

(il segno degli elementi fuori diagonale dipende dal segno dei portatori). Più utile è il tensore inverso, la resistività:

$[\rho] = \frac{1}{\sigma_0}\begin{pmatrix} 1 & \omega_c\tau \\ -\omega_c\tau & 1 \end{pmatrix},\qquad \rho_{xx} = \frac{1}{\sigma_0},\qquad |\rho_{yx}| = \frac{\omega_c\tau}{\sigma_0} = \frac{B}{Ne}$

Due risultati sorprendenti in una riga. La resistenza lungo la corrente non dipende dal campo magnetico (nel modello di Drude non c’è magnetoresistenza). E la resistività trasversale $B/(Ne)$ non dipende da $\tau$ , cioè dagli urti: misura direttamente la densità dei portatori e il loro segno. In una barretta di spessore $t$ percorsa dalla corrente $I$ compare una tensione di Hall $V_H = \frac{IB}{Ne\,t}$ . Nel rame è minuscola (meno di un microvolt con 1 A e 1 T); in un semiconduttore poco drogato, con $N$ milioni di volte più piccolo, diventa di millivolt anche con correnti di 1 mA. Sono i sensori di Hall: sensori di corrente senza contatto, encoder dei motori brushless, sensori di velocità delle ruote dell’ABS.

L'effetto Hall in una barretta — La corrente I scorre lungo la barretta; il campo magnetico B, uscente dal foglio, devia i portatori verso un lato, e tra i due bordi compare la tensione di Hall V H, perpendicolare sia alla corrente sia al campo.

Riepilogo

mezzo	tensore	forma	effetto	dispositivi
ferrite magnetizzata	$[\mu]$	hermitiano, $\pm j\kappa$ fuori diagonale	rotazione di Faraday, non reciprocità	isolatori, circolatori, sfasatori
cristallo	$[\varepsilon]$	reale simmetrico	birifrangenza	lamine d’onda, polarizzatori, modulatori
plasma magnetizzato	$[\varepsilon]$	hermitiano, come la ferrite	riflessione sotto $f_p$ , rotazione di Faraday	collegamenti HF, scelta della polarizzazione
conduttore in campo $B$	$[\sigma]$	antisimmetrico fuori diagonale	effetto Hall	sensori di Hall

La struttura matematica è sempre la stessa: un’equazione del moto lineare per le cariche o per gli spin, un sistema 2×2 nel piano perpendicolare al campo statico, autovettori circolari quando c’è un campo magnetico che rompe la simmetria tra i due versi di rotazione.

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