La sezione radar: regioni di Rayleigh, risonanza e ottica, forme semplici, scintillazione, modelli di Swerling e stealth

Nell’equazione radar il bersaglio entra con un solo numero, la sezione radar (RCS, radar cross section). Ma quel numero nasconde molta fisica: dipende da quanto è grande l’oggetto rispetto alla lunghezza d’onda, dalla forma, dal materiale e dall’angolo di vista, e cambia da un impulso all’altro. Questa lezione spiega da che cosa dipende la sezione radar, con la sfera come esempio calcolato esattamente, le formule delle forme semplici, perché un bersaglio complesso “scintilla”, i modelli statistici di Swerling e quanto costa la fluttuazione in termini di portata, e infine le idee alla base della riduzione della sezione radar (stealth).

L’idea in parole semplici

La sezione radar è “quanto grande sembra” un oggetto al radar, ed è spesso molto diversa dalla sua grandezza vera. Uno specchio rivolto verso di voi rimanda tutta la luce nei vostri occhi e sembra abbagliante; lo stesso specchio inclinato di pochi gradi manda la luce altrove e sembra scuro. Per il radar, una lastra di metallo di fronte è “enorme”, una sfera dello stesso diametro piccola, una superficie inclinata quasi invisibile.

Un aereo è fatto di tante superfici e spigoli, ognuno dei quali rimanda un’eco. Le eco si sommano con fasi diverse, come le onde in uno stagno: se l’aereo ruota appena, le fasi cambiano e la somma salta da grande a piccola. Per questo l’eco di un bersaglio vero fluttua, e il radar deve tenerne conto.

Le tre regioni: Rayleigh, risonanza, ottica

Il comportamento dipende dal rapporto tra la dimensione dell’oggetto e la lunghezza d’onda. Per una sfera di raggio si usa :

• regione di Rayleigh (, oggetto piccolo): , cioè . La sezione radar cresce con la quarta potenza della frequenza. È il regime delle gocce di pioggia (lezione sul SAR e i radar meteorologici) e degli insetti;
• regione di risonanza (, dimensioni simili a ): l’onda che gira intorno alla sfera (onda “strisciante”) interferisce con quella riflessa dalla parte frontale; oscilla, con un massimo di 3,65 volte l’area geometrica a ;
• regione ottica (, oggetto grande): , l’area geometrica, indipendente dalla frequenza. Le oscillazioni si smorzano.

Questi valori vengono dalla soluzione esatta di Mie (1908) per la diffusione da una sfera conduttrice, una serie di funzioni di Bessel sferiche che il codice calcola: per la serie coincide con la formula di Rayleigh, per dà 0,97.

Le forme semplici

Nella regione ottica alcune forme hanno formule semplici (con incidenza nella direzione più favorevole):

oggetto		esempio in banda X ( cm)
sfera di raggio		m: 0,28 m² (−5,5 dBsm)
lastra piana di area , di fronte		1 m²: 14 000 m² (41,4 dBsm)
riflettore triedro di spigolo		m: 38 m² (15,8 dBsm)
cilindro di raggio , lunghezza , perpendicolare

(dBsm = decibel rispetto a 1 m²). Due lezioni importanti. Una superficie piana di fronte è un riflettore formidabile, ma la sua sezione radar crolla appena si inclina (il fascio riflesso è largo circa ). Il riflettore triedro (tre lastre perpendicolari, l’angolo di una scatola) rimanda invece l’onda verso la sorgente per un’ampia gamma di angoli: è il riflettore delle boe e delle barche di vetroresina, che senza sarebbero quasi invisibili, e il bersaglio di taratura dei radar.

Perché un bersaglio scintilla

Un bersaglio complesso si può pensare come tanti diffusori puntiformi, ognuno con la sua ampiezza e la sua distanza :

Il (e non ) viene dal percorso di andata e ritorno. Già con due diffusori uguali a distanza , visti con un angolo dalla perpendicolare, la differenza di percorso è e , che oscilla tra 0 e con un periodo angolare di radianti: con m in banda X, un massimo ogni 0,86°. Un aereo lungo 30 m cambia sezione radar completamente per rotazioni di centesimi di grado: basta la turbolenza.

I modelli di Swerling

Peter Swerling (1960) propose quattro modelli statistici, oggi standard:

modello	distribuzione di	quando cambia	bersaglio tipico
Swerling 0 (o 5)	costante	mai	sfera, riflettore di taratura
Swerling 1	esponenziale (molti diffusori simili)	da una scansione all’altra	aereo visto da un radar di sorveglianza
Swerling 2	esponenziale	da un impulso all’altro	aereo con agilità di frequenza
Swerling 3	chi quadro a 4 gradi (un diffusore dominante più tanti piccoli)	da una scansione all’altra	missile, nave
Swerling 4	chi quadro a 4 gradi	da un impulso all’altro

Il costo della fluttuazione. Con un solo impulso e un bersaglio Swerling 1, la probabilità di rivelazione ha una formula chiusa: . Ricavando il rapporto segnale/rumore: . Per e servono 21,1 dB, contro i 13,1 dB di un bersaglio costante (formula di Albersheim, lezione sulla rivelazione): 8 dB di perdita da fluttuazione. Con la portata che va come la radice quarta della potenza, significa perdere il 37 % della portata. Il motivo: un bersaglio che fluttua passa una parte del tempo in un “buco” profondo, e per avere il 90 % di probabilità bisogna avere un margine enorme. Il rimedio è la diversità: integrare più impulsi a frequenze diverse (che vedono il bersaglio con fasi diverse, trasformando Swerling 1 in Swerling 2) riduce la perdita a pochi dB. Il codice verifica la formula con una simulazione: al rapporto calcolato, la frequenza di rivelazione è 0,899.

La riduzione della sezione radar

Gli aerei e le navi “stealth” non sono invisibili: hanno una sezione radar molto ridotta, di 20-40 dB, nelle direzioni e alle frequenze per cui sono progettati. Le tecniche:

• forma: superfici piane inclinate e bordi allineati su poche direzioni, così che le riflessioni speculari vadano lontano dal radar e si concentrino in pochi “lampi” stretti; niente angoli retti (che fanno da triedro); prese d’aria e motori nascosti;
• materiali assorbenti (RAM, radar absorbing materials): vernici con ferriti, strati resistivi a un quarto d’onda dalla superficie conduttrice (schermo di Salisbury) che cancellano la riflessione per interferenza;
• cancellazione attiva e gestione dei bordi: denti di sega sulle giunture, schermi sulle cavità.

I limiti dipendono dalla fisica di questa lezione: le forme funzionano nella regione ottica; a frequenze basse (VHF e UHF), dove le parti dell’aereo hanno dimensioni paragonabili alla lunghezza d’onda, si entra nella regione di risonanza e la sagomatura perde efficacia, e i materiali assorbenti dovrebbero essere troppo spessi. Anche i radar bistatici, che ricevono da direzioni diverse da quella di trasmissione, raccolgono le riflessioni mandate “altrove” (lezione su SAR, meteorologia e guerra elettronica).

In sintesi

• La sezione radar dipende dal rapporto tra dimensione e lunghezza d’onda: per oggetti piccoli (Rayleigh), oscillante intorno a (risonanza), costante e geometrica per oggetti grandi (ottica).
• Lastre di fronte e triedri hanno sezioni radar enormi; superfici inclinate quasi nulle.
• Più diffusori interferiscono: la sezione radar di un bersaglio vero fluttua con l’angolo e con la frequenza.
• I modelli di Swerling descrivono la fluttuazione; con un impulso, a , la fluttuazione costa circa 8 dB, recuperabili in parte con la diversità di frequenza.
• La riduzione della sezione radar usa forma e materiali, ed è efficace soprattutto alle frequenze alte.

Il codice

import numpy as np
from scipy.special import spherical_jn, spherical_yn

# 1) sfera conduttrice: sezione radar esatta (serie di Mie), normalizzata all'area geometrica pi a^2
def sfera(ka, nmax=60):
    n = np.arange(1, nmax + 1)
    j, y = spherical_jn(n, ka), spherical_yn(n, ka)
    jd, yd = spherical_jn(n, ka, True), spherical_yn(n, ka, True)
    h, hd = j + 1j * y, jd + 1j * yd
    a = j / h                                          # coefficienti del campo diffuso (sfera perfettamente conduttrice)
    b = (j + ka * jd) / (h + ka * hd)
    return abs(np.sum((-1) ** n * (2 * n + 1) * (b - a))) ** 2 / ka ** 2

for ka in (0.1, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 5.0, 20.0):
    print(f"ka = {ka:5.1f}: sigma/(pi a^2) = {sfera(ka):.4f}" + (f"   (Rayleigh 9 (ka)^4 = {9 * ka ** 4:.4f})" if ka <= 0.5 else ""))
kk = np.linspace(0.5, 2.0, 1501)
s = np.array([sfera(x) for x in kk])
print(f"massimo di risonanza: {s.max():.2f} a ka = {kk[s.argmax()]:.2f}")

# 2) forme semplici in banda X
lam = 0.03
print(f"lastra 1 m x 1 m di fronte: {10 * np.log10(4 * np.pi / lam ** 2):.1f} dBsm")
print(f"riflettore triedro con spigolo 0,3 m: {10 * np.log10(4 * np.pi * 0.3 ** 4 / (3 * lam ** 2)):.1f} dBsm")
print(f"sfera di raggio 0,3 m: {10 * np.log10(np.pi * 0.3 ** 2):.1f} dBsm")

# 3) due diffusori uguali a 1 m: la sezione radar cambia con l'angolo di vista
th = np.radians(np.linspace(0, 10, 100001))
sig = np.abs(1 + np.exp(1j * 4 * np.pi * 1.0 * np.sin(th) / lam)) ** 2
print(f"due diffusori a 1 m: sigma da {sig.min():.3f} a {sig.max():.1f} volte quella di uno; un massimo ogni {np.degrees(lam / 2):.2f} gradi")

# 4) fluttuazione (Swerling 1) contro bersaglio costante: SNR richiesto per Pd = 0,9 e Pfa = 1e-6 con un impulso
Pd, Pfa = 0.9, 1e-6
sw1 = np.log(Pfa) / np.log(Pd) - 1                     # da Pd = Pfa^(1/(1+SNR))
A, B = np.log(0.62 / Pfa), np.log(Pd / (1 - Pd))
cost = A + 0.12 * A * B + 1.7 * B                      # Albersheim, bersaglio costante
print(f"SNR richiesto: costante {10 * np.log10(cost):.1f} dB, Swerling 1 {10 * np.log10(sw1):.1f} dB, perdita da fluttuazione {10 * np.log10(sw1 / cost):.1f} dB")
rng = np.random.default_rng(0)
M = 400000
soglia = np.sqrt(-np.log(Pfa))                         # soglia sull'ampiezza con rumore di potenza unitaria
sigma_t = rng.exponential(1.0, M) * sw1                 # sezione radar esponenziale (Swerling 1), media sw1
eco = np.sqrt(sigma_t) * np.exp(1j * rng.uniform(0, 2 * np.pi, M)) + (rng.normal(size=M) + 1j * rng.normal(size=M)) / np.sqrt(2)
print(f"verifica Monte Carlo con Swerling 1 al SNR calcolato: Pd = {np.mean(np.abs(eco) > soglia):.3f}")

L’esecuzione stampa i valori della sfera (0,0009 per , uguale a Rayleigh; 3,64 a ; 0,97 a ), il massimo 3,65 a , 41,4, 15,8 e −5,5 dBsm per lastra, triedro e sfera, la sezione dei due diffusori tra 0 e 4 con un massimo ogni 0,86°, i rapporti 13,1 e 21,1 dB con 8,0 dB di perdita, e nella simulazione.