Guide d’onda rettangolari: modo TE10 e frequenza di taglio
Due onde piane che rimbalzano, il modo TE10 con dimostrazione, frequenza di taglio e banda monomodale, guida WR-90, velocità di fase e di gruppo, guide dielettriche e cavità.
Sopra qualche gigahertz i cavi coassiali attenuano molto e reggono poca potenza. Per i radar, i ponti radio e i trasmettitori satellitari si usano allora le guide d’onda: tubi metallici cavi, di solito a sezione rettangolare, dentro cui l’onda viaggia rimbalzando sulle pareti. A differenza delle linee a due conduttori, una guida ha una frequenza di taglio: sotto, non trasmette nulla. In questa lezione ricaviamo il modo fondamentale della guida rettangolare e le sue proprietà.
L’idea: due onde piane che rimbalzano
Si pensi a due pareti metalliche parallele distanti 
. Un’onda piana che viaggia inclinata di un angolo 
rispetto all’asse della guida si riflette sulle pareti, e la somma delle due onde, quella che sale e quella che scende, forma nella direzione trasversale un’onda stazionaria e lungo la guida un’onda progressiva. Il campo elettrico tangente alle pareti deve annullarsi (conduttore perfetto): questo è possibile solo se nella larghezza sta un numero intero di mezze lunghezze d’onda “trasversali”. Più la frequenza scende, più l’onda deve inclinarsi per rispettare questa condizione, fino a rimbalzare perpendicolarmente alle pareti senza più avanzare: è il taglio.
Il modo TE10
Teorema. In una guida rettangolare di lati 
con pareti perfettamente conduttrici esiste la soluzione
![\[ E_y = E_0\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)e^{-j\beta z},\qquad \beta = \sqrt{k^2 - \left(\frac{\pi}{a}\right)^2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05d3087c9edbb71003b61a390f2bc81d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con 
.
Dimostrazione. Il campo deve soddisfare l’equazione di Helmholtz 
. Sostituendo la forma proposta, la derivata seconda in 
dà 
, quella in 
dà 
, quella in 
zero:
![\[ -\left(\frac{\pi}{a}\right)^2 - \beta^2 + k^2 = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8540f162af89b8e827a52302dcaf600_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che è la relazione per 
. Le condizioni al contorno sono rispettate: 
è tangente alle pareti 
e 
e lì si annulla grazie al seno; sulle pareti 
e 
è normale, ed è permesso. Il campo magnetico si ricava dalla legge di Faraday. ∎
Si chiama TE10 (trasverso elettrico, con una mezza onda lungo e nessuna lungo 
) ed è il modo fondamentale, quello con la frequenza di taglio più bassa.
La frequenza di taglio
Perché l’onda si propaghi, deve essere reale, cioè 
. La frequenza di taglio, in aria, è
![\[ f_c = \frac{c}{2a} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54e635048e3759a865371e4b5df6a662_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sotto 
, diventa immaginario e il campo decade esponenzialmente lungo la guida senza trasportare potenza. Una guida si comporta quindi da filtro passa alto: è anche il principio della griglia metallica sulla porta del forno a microonde, i cui fori sono troppo piccoli perché le onde a 2,45 GHz li attraversino.
In generale i modi TE
hanno frequenza di taglio 
, e si progetta la guida per usarla nella banda in cui si propaga solo il TE10, tra e il taglio del modo successivo, così l’energia non si divide tra modi con velocità diverse.
Esempio. La guida standard WR-90 ha 
mm e 
mm. Il TE10 ha 
GHz; il TE20 è a 13,1 GHz e il TE01 a 14,8 GHz. La banda d’uso raccomandata è 8,2-12,4 GHz, la “banda X” dei radar.
Velocità di fase e di gruppo
La lunghezza d’onda in guida, 
, è maggiore di quella nello spazio libero:
![\[ \lambda_g = \frac{\lambda}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ce16a9bda16b9528c2bdec2f457e139e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A 10 GHz nella WR-90, 
cm ma 
cm. Di conseguenza la velocità di fase 
è maggiore di 
, mentre la velocità di gruppo, quella con cui viaggiano l’energia e l’informazione, è minore:
![\[ v_g = \frac{d\omega}{d\beta} = c\sqrt{1 - (f_c/f)^2},\qquad v_p\,v_g = c^2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-484687504cb59fe04d9f783fb68ee0d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nell’esempio 
. La velocità di fase superiore a non viola la relatività: è la velocità con cui si sposta il “disegno” delle creste lungo la guida, come il punto di incontro tra un’onda del mare e la riva, che può correre più veloce dell’onda stessa. La dipendenza della velocità dalla frequenza (dispersione) deforma gli impulsi brevi, ed è da tenere in conto nei radar.
Guide dielettriche e cavità
- Le guide dielettriche, come le fibre ottiche, confinano l’onda per riflessione totale invece che con pareti metalliche; anche loro hanno modi e frequenze di taglio, e una fibra monomodo è progettata perché sopra una certa lunghezza d’onda si propaghi un solo modo.
- Chiudendo una guida alle due estremità si ottiene una cavità risonante: le onde stazionarie possono esistere solo a frequenze precise, con fattori di qualità di decine di migliaia. Le cavità sono i filtri delle stazioni base cellulari, il cuore dei magnetron dei forni a microonde e degli acceleratori di particelle.
