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Campi Elettromagnetici

Antenne: guadagno, area efficace, formula di Friis e schiere

Parametri delle antenne, reciprocità e area efficace, formula di Friis con dimostrazione e bilancio di collegamento con esempi, fattore di schiera e antenne a scansione di fase.

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Un’antenna trasforma una corrente in un’onda e viceversa. Per progettare un collegamento radio non serve risolvere ogni volta le equazioni di Maxwell: bastano pochi parametri che descrivono l’antenna dall’esterno e una formula che dice quanta potenza arriva al ricevitore. In questa lezione vediamo i parametri delle antenne, l’area efficace, la formula di Friis per il bilancio di collegamento e le schiere di antenne, che permettono di orientare il fascio elettronicamente.

I parametri di un’antenna

  • Diagramma di radiazione: come la potenza irradiata si distribuisce nelle direzioni. Si descrive con il lobo principale, la sua larghezza a metà potenza (l’angolo entro cui la potenza è almeno metà del massimo) e i lobi secondari.
  • Direttività D: il rapporto tra l’intensità di radiazione massima e quella di un’antenna isotropa che irradiasse la stessa potenza totale.
  • Guadagno G = e\,D: la direttività moltiplicata per l’efficienza e, la frazione della potenza d’ingresso effettivamente irradiata. Si esprime in dBi (decibel rispetto all’isotropa).
  • Impedenza d’ingresso: deve essere adattata alla linea che alimenta l’antenna.
  • Polarizzazione e banda, l’intervallo di frequenze in cui i parametri restano accettabili.

Alcuni valori tipici: dipolo a mezz’onda 2,15 dBi, antenna del router Wi-Fi 2-5 dBi, antenna a pannello di una stazione cellulare 15-18 dBi, parabola satellitare da un metro a 12 GHz circa 40 dBi.

La reciprocità e l’area efficace

Per il teorema di reciprocità, un’antenna ha lo stesso diagramma e lo stesso guadagno in trasmissione e in ricezione. In ricezione si usa l’area efficace A_e: la potenza ricevuta da un’onda con densità di potenza S (in W/m²) è P_r = S\,A_e, come se l’antenna “raccogliesse” l’onda su quell’area. Area efficace e guadagno sono legati da

    \[ A_e = \frac{\lambda^2}{4\pi}\,G \]

una relazione generale, valida per qualsiasi antenna. Per un dipolo a mezz’onda a 100 MHz (\lambda = 3 m), A_e = 1{,}64\cdot 9/(4\pi) \approx 1{,}2 m², molto più della sua sezione geometrica. Per una parabola l’area efficace è il 55-70% dell’area dell’apertura, da cui G = e\,(\pi D/\lambda)^2: una parabola da un metro a 12 GHz ha guadagno circa 9500, cioè 40 dBi.

La formula di Friis

Teorema. Due antenne con guadagni G_t e G_r, a distanza d molto maggiore delle loro dimensioni e della lunghezza d’onda, nello spazio libero e con polarizzazioni adattate:

    \[ P_r = P_t\,G_t\,G_r\left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2 \]

Dimostrazione. Un’antenna isotropa che irradia P_t distribuisce la potenza su una sfera di area 4\pi d^2; con guadagno G_t, nella direzione del ricevitore la densità di potenza è S = P_tG_t/(4\pi d^2). L’antenna ricevente ne raccoglie P_r = S\,A_{e,r} = \frac{P_tG_t}{4\pi d^2}\cdot\frac{\lambda^2G_r}{4\pi}, che è la formula. ∎

Il termine (4\pi d/\lambda)^2 è l’attenuazione di spazio libero. In decibel la formula diventa una somma, il bilancio di collegamento:

    \[ P_r\,[\text{dBm}] = P_t + G_t + G_r - 20\log_{10}\frac{4\pi d}{\lambda} \]

Esempi.

  • Wi-Fi a 2,4 GHz, 100 m, potenza 20 dBm (100 mW), antenne da 2 dBi: l’attenuazione di spazio libero è 80 dB e P_r = 20 + 2 + 2 - 80 = -56 dBm, un segnale ottimo (i ricevitori funzionano fino a circa −90 dBm). In un edificio i muri tolgono molto di più.
  • Satellite geostazionario a 36 000 km, 12 GHz: attenuazione di spazio libero di circa 205 dB. Per questo servono antenne paraboliche con decine di dBi di guadagno a terra e sul satellite.

La potenza ricevuta cala come 1/d^2: raddoppiare la distanza costa 6 dB. Il fattore \lambda^2 non significa che le frequenze alte “si attenuino di più” nello spazio: a parità di guadagno le antenne sono più piccole e raccolgono meno; a parità di dimensione delle antenne il guadagno cresce con la frequenza e il collegamento addirittura migliora.

Le schiere di antenne

Mettendo più antenne uguali in fila e alimentandole insieme, i loro campi si sommano con fasi diverse a seconda della direzione. Il diagramma della schiera è quello del singolo elemento moltiplicato per il fattore di schiera. Per N elementi distanti d, alimentati con la stessa ampiezza e uno sfasamento progressivo \alpha tra un elemento e il successivo:

    \[ AF(\theta) = \frac{\sin(N\psi/2)}{N\sin(\psi/2)},\qquad \psi = kd\cos\theta + \alpha \]

(si ricava sommando la serie geometrica \sum_{n=0}^{N-1}e^{jn\psi}, come per la media mobile nei filtri numerici).

Fattore di schiera di quattro elementi distanti mezza lunghezza d'onda
Con quattro elementi alimentati in fase lungo l’asse verticale, il fascio principale è perpendicolare alla schiera, più stretto di quello del singolo elemento, con piccoli lobi secondari; lungo l’asse della schiera la radiazione si annulla.
  • Con \alpha = 0 il fascio è perpendicolare alla schiera (broadside), e con N elementi diventa circa N volte più stretto: le antenne delle stazioni cellulari sono colonne di dipoli che concentrano la potenza verso l’orizzonte.
  • Variando \alpha elettronicamente il fascio si orienta senza muovere nulla: è la schiera a scansione di fase (phased array), usata nei radar militari e meteorologici, nelle antenne dei satelliti a bassa orbita per Internet e nel 5G, dove la stazione base dirige un fascio diverso verso ciascun utente.
  • Con d \gt \lambda/2 compaiono altri lobi della stessa intensità del principale (lobi di grating), lo stesso fenomeno dell’aliasing nel campionamento: la schiera “campiona” il campo nello spazio, e serve almeno un elemento ogni mezza lunghezza d’onda.

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